Oštri, tupi, jednakokračni, jednakostranični... Kada je riječ o trokutima, postoji mnogo različitih varijanti, ali samo nekoliko izbora su 'posebni'. Ovi posebni trokuti imaju stranice i kutove koji su dosljedni i predvidljivi i mogu se koristiti za prečac kroz vaše geometrijske ili trigonometrijske probleme. A trokut 30-60-90 - koji se izgovara 'trideset šezdeset devedeset' - doista je vrlo posebna vrsta trokuta.

U ovom ćemo vam vodiču objasniti što je trokut 30-60-90, zašto funkcionira i kada (i kako) upotrijebiti svoje znanje o njemu. Pa krenimo na to!

Što je trokut 30-60-90?

Trokut 30-60-90 poseban je pravokutni trokut (pravokutni trokut je svaki trokut koji sadrži kut od 90 stupnjeva) koji uvijek ima kutove stupnjeva od 30 stupnjeva, 60 stupnjeva i 90 stupnjeva. Budući da je to poseban trokut, on također ima vrijednosti duljine stranica koje su uvijek u međusobnom dosljednom odnosu.

Osnovni omjer trokuta 30-60-90 je:

Strana nasuprot kutu od 30°: $x$

Strana nasuprot kutu od 60°: $x * √3$

Strana nasuprot kutu od 90°: x$

Na primjer, trokut od 30-60-90 stupnjeva može imati duljine stranica:

2, 2√3, 4

7, 7√3, 14

√3, 3, 2√3

koliki je ekran mog monitora

(Zašto je duži krak 3? U ovom trokutu, najkraći krak ($x$) je $√3$, pa je za duži krak $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. I hipotenuza je 2 puta najkraća kateta, ili √3$)

I tako dalje.

Stranica nasuprot kutu od 30° uvijek je najmanja , jer je 30 stupnjeva najmanji kut. Strana nasuprot kutu od 60° bit će srednja duljina , jer je 60 stupnjeva kut srednje veličine u ovom trokutu. I konačno, stranica nasuprot kutu od 90° uvijek će biti najveća stranica (hipotenuza) jer je 90 stupnjeva najveći kut.

Iako može izgledati slično drugim vrstama pravokutnih trokuta, razlog zbog kojeg je trokut 30-60-90 tako poseban jest to što su vam potrebne samo tri informacije kako biste pronašli svaku drugu mjeru. Sve dok znate vrijednost dviju mjera kuta i duljine jedne stranice (nije bitno koja stranica), znate sve što trebate znati o svom trokutu.

Na primjer, možemo upotrijebiti formulu trokuta 30-60-90 za popunjavanje svih preostalih praznina u trokutima ispod.

Primjer 1

Vidimo da se radi o pravokutnom trokutu u kojem je hipotenuza dvostruko duža od jedne od kateta. To znači da ovo mora biti trokut 30-60-90 i da je manja stranica nasuprot 30°.

Duži krak stoga mora biti nasuprot kutu od 60° i mjeriti * √3$, ili √3$.

Primjer 2

prioritetni red čekanja java

Vidimo da ovo mora biti trokut 30-60-90 jer možemo vidjeti da je ovo pravokutni trokut s jednom zadanom mjerom, 30°. Neoznačeni kut tada mora biti 60°.

Budući da je 18 mjera nasuprot kutu od 60°, mora biti jednaka $x√3$. Najkraća noga tada mora biti 18 $/√3 $.

(Imajte na umu da će duljina kraka zapravo biti /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ jer nazivnik ne može sadržavati radikal/kvadratni korijen).

A hipotenuza će biti (18/√3)$

(Imajte na umu da, opet, ne možete imati radikal u nazivniku, tako da će konačni odgovor stvarno biti 2 puta duljina kraka od √3$ => √3$).

Primjer 3

Opet su nam dana dva mjerenja kuta (90° i 60°), tako da će treća mjera biti 30°. Budući da je ovo trokut 30-60-90, a hipotenuza je 30, najkraća kateta bit će jednaka 15, a duža kateta jednaka je 15√3.

Nema potrebe konzultirati čarobnu osmicu—ova pravila uvijek funkcioniraju.

Zašto radi: 30-60-90 Dokaz teorema o trokutu

Ali zašto ovaj poseban trokut radi na način na koji radi? Kako znamo da su ta pravila legitimna? Prođimo kroz točno kako funkcionira teorem o trokutu 30-60-90 i dokažimo zašto će ove duljine stranica uvijek biti dosljedne.

Prvo, zaboravimo na trenutak pravokutne trokute i pogledajmo jednakostraničan trokut.

Jednakostranični trokut je trokut koji ima sve jednake stranice i sve jednake kutove. Budući da unutarnji kutovi trokuta uvijek zbroje 180° i 0/3 = 60$, jednakostranični trokut će uvijek imati tri kuta od 60°.

Sada spustimo visinu od najvišeg kuta do baze trokuta.

Sad jesmo stvorio dva prava kuta i dva sukladna (jednaka) trokuta.

Kako znamo da su jednaki trokuti? Zato što smo pali s visine jednakostraničan trokut, podijelili smo bazu točno na pola. Novi trokuti također dijele jednu duljinu stranice (visinu) i svaki od njih ima istu duljinu hipotenuze. Budući da dijele tri zajedničke duljine stranice (SSS), to znači trokuti su sukladni.

kako nabaviti game pigeon na android

Napomena: ne samo da su dva trokuta sukladna na temelju načela dužine stranice-stranice-stranice, ili SSS, već i na temelju mjera stranica-kut-stranica (SAS), kut-kut-stranica (AAS) i kut- bočni kut (ASA). U osnovi? Definitivno su podudarni.

Sada kada smo dokazali podudarnost dva nova trokuta, možemo vidjeti da svaki od gornjih kutova mora biti jednak 30 stupnjeva (jer svaki trokut već ima kutove od 90° i 60° i mora zbrojiti 180°). To znači napravili smo dva trokuta 30-60-90.

A budući da znamo da smo osnovicu jednakostraničnog trokuta prerezali na pola, možemo vidjeti da je stranica nasuprot kutu od 30° (najkraća stranica) svakog od naših 30-60-90 trokuta točno pola duljine hipotenuze. .

Dakle, nazovimo našu izvornu duljinu stranice $x$, a našu prepolovljenu duljinu $x/2$.

Sve što nam sada preostaje je pronaći našu duljinu srednje strane koju dijele dva trokuta. Da bismo to učinili, možemo jednostavno upotrijebiti Pitagorin teorem.

$a^2 + b^2 = c^2$

$(x/2)^2 + b^2 = x^2$

$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

$b = {√3x}/2$

Dakle, ostaje nam: $x/2, {x√3}/2, x$

Sada pomnožimo svaku mjeru s 2, samo da olakšamo život i izbjegnemo sve razlomke. Na taj način ostaje nam:

$x$, $x√3$, x$

Možemo vidjeti, dakle, da će trokut 30-60-90 stalno imaju dosljedne duljine stranica $x$, $x√3$ i x$ (ili $x/2$, ${√3x}/2$ i $x$).

Na našu sreću, možemo dokazati da su pravila trokuta 30-60-90 točna bez svega... ovoga.

alter dodati stupac proročište

Kada koristiti pravila trokuta 30-60-90

Poznavanje pravila trokuta 30-60-90 moći će vam uštedjeti vrijeme i energiju na mnoštvu različitih matematičkih problema, naime širokog spektra geometrijskih i trigonometrijskih problema.

Geometrija

Ispravno razumijevanje trokuta 30-60-90 omogućit će vam rješavanje geometrijskih pitanja koja bi bilo nemoguće riješiti bez poznavanja ovih pravila omjera ili bi u najmanju ruku trebalo dosta vremena i truda da se riješi 'dugi put'.

S posebnim omjerima trokuta možete izračunati nedostajuće visine trokuta ili duljine krakova (bez potrebe za korištenjem Pitagorinog poučka), pronaći površinu trokuta korištenjem informacija o nedostajućoj visini ili dužini osnovice i brzo izračunati opsege.

Kad god trebate brzinu da odgovorite na pitanje, dobro će vam doći pamćenje prečaca poput pravila 30-60-90.

Trigonometrija

Pamćenje i razumijevanje omjera trokuta 30-60-90 također će vam omogućiti da riješite mnoge trigonometrijske probleme bez potrebe za kalkulatorom ili potrebe za aproksimacijom svojih odgovora u decimalnom obliku.

Trokut 30-60-90 ima prilično jednostavne sinuse, kosinuse i tangente za svaki kut (i ta će mjerenja uvijek biti dosljedna).

Sinus od 30° uvijek će biti /2$.

Kosinus od 60° uvijek će biti /2$.

Iako su drugi sinusi, kosinusi i tangensi prilično jednostavni, ovo je dvoje koje je najlakše zapamtiti i vjerojatno će se pojaviti na testovima. Dakle, poznavanje ovih pravila omogućit će vam da pronađete ova trigonometrijska mjerenja što je brže moguće.

Savjeti za pamćenje pravila 30-60-90

Znate da su ova pravila omjera 30-60-90 korisna, ali kako zadržati informacije u glavi? Prisjećanje pravila trokuta 30-60-90 je stvar prisjećanja omjera 1: √3 : 2, i znajući da je najkraća duljina stranice uvijek nasuprot najkraćem kutu (30°), a najdulja duljina stranice je uvijek nasuprot kutu. najveći kut (90°).

Neki ljudi pamte omjer misleći: ' $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' jer je niz '1, 2, 3' obično lako zapamtiti. Jedna mjera opreza pri korištenju ove tehnike je zapamtiti da je najduža stranica zapravo x$, ne $x$ puta $√3$.

Drugi način da zapamtite svoje omjere je da koristite mnemoničku igru ​​riječi na omjeru 1: korijen 3: 2 njihovim pravilnim redoslijedom. Na primjer, 'Jackie Mitchell je izbacila Loua Gehriga i 'osvojila i Ruthy,': jedan, korijen tri, dva. (I to je prava bejzbolska povijest!)

Poigrajte se vlastitim mnemotehničkim sredstvima ako vam se ne sviđaju—pjevajte omjer uz pjesmu, pronađite vlastite izraze 'jedan, korijen tri, dva' ili smislite pjesmu o omjeru. Možete čak zapamtiti da je trokut 30-60-90 polovica jednakostraničnog trokuta i odatle izračunati mjere ako ih ne volite pamtiti.

Međutim, ima smisla zapamtiti ova pravila 30-60-90, zadržite te omjere u glavi za buduća pitanja o geometriji i trigonometriji.

Pamćenje je vaš prijatelj, no vi ga možete ostvariti.

Primjer 30-60-90 Pitanja

Sada kada smo pogledali kako i zašto kod trokuta 30-60-90, proradimo neke probleme iz prakse.

Geometrija

Građevinski radnik naslanja ljestve od 40 stopa na zid zgrade pod kutom od 30 stupnjeva od tla. Tlo je ravno, a stranica zgrade je okomita na tlo. Koliko daleko u zgradu sežu ljestve, do najbližeg stopala?

Bez poznavanja naših posebnih pravila trokuta 30-60-90, morali bismo koristiti trigonometriju i kalkulator da bismo pronašli rješenje ovog problema, budući da imamo samo jednu mjernu stranu trokuta. Ali budući da znamo da je ovo a poseban trokut, možemo pronaći odgovor u samo nekoliko sekundi.

Ako su zgrada i tlo okomiti jedno na drugo, to mora značiti da zgrada i tlo čine pravi kut (90°). Također je s obzirom da ljestve dodiruju tlo pod kutom od 30°. Stoga možemo vidjeti da preostali kut mora biti 60°, što ovaj trokut čini 30-60-90.

Sada znamo da je hipotenuza (najduža stranica) ovog broja 30-60-90 40 stopa, što znači da će najkraća stranica biti pola te duljine. (Zapamtite da je najduža stranica uvijek dva puta—x$—duža od najkraće stranice.) Budući da je najkraća stranica nasuprot kutu od 30°, a taj je kut stupanj mjere ljestava od tla, to znači da vrh ljestava udari u zgradu 20 stopa od tla.

Naš konačni odgovor je 20 stopa.

Trigonometrija

Ako je u pravokutnom trokutu sin Θ = /2$, a duljina najkraće katete iznosi 8. Kolika je duljina stranice koja NIJE hipotenuza i nedostaje?

Budući da znate svoja pravila 30-60-90, možete riješiti ovaj problem bez potrebe za Pitagorinim teoremom ili kalkulatorom.

Rečeno nam je da je ovo pravokutni trokut, a iz naših posebnih pravila pravokutnog trokuta znamo da je sinus 30° = /2$. Kut koji nedostaje mora stoga biti 60 stupnjeva, što ovaj trokut čini 30-60-90.

A budući da je ovo trokut 30-60-90, a rečeno nam je da je najkraća stranica 8, hipotenuza mora biti 16, a stranica koja nedostaje mora biti * √3$, ili √3$.

popis gimp fontova

Naš konačni odgovor je 8√3.

Za ponijeti

Sjećanje na pravila za trokute 30-60-90 pomoći će vam da skratite svoj put kroz razne matematičke probleme . Ali imajte na umu da, iako je poznavanje ovih pravila zgodan alat koji imate u pojasu, većinu problema ipak možete riješiti bez njih.

Pratite pravila $x$, $x√3$, x$ i 30-60-90 na bilo koji način koji vam se čini logičnim i pokušajte ih držati jasnima ako možete, ali nemojte paničariti ako mislite isprazni se kad dođe vrijeme krckanja. U svakom slučaju, imate ovo.

I, ako vam treba više prakse, samo naprijed i pogledajte ovo Kviz trokut 30-60-90 . Sretno polaganje!