Na novom redizajniranom testu SAT za 2016., sadržaj odjeljka iz matematike podijeljen je u četiri kategorije od strane kolegijuma: srce algebre, rješavanje problema i analiza podataka, putovnica za naprednu matematiku i dodatne teme iz matematike. Heart of Algebra čini najveći dio matematičkog odjeljka SAT (33% testa) , pa se za to morate dobro pripremiti. U ovom ću postu raspravljati o sadržaju ove kategorije i vrstama pitanja, rješavati probleme u praksi i davati savjete o tome kako riješiti ova pitanja.

Srce algebre: pregled

Sadržaj pokriven

Kao što naziv sugerira, Heart of Algebra pokriva algebarski sadržaj, ali koji konkretno algebarski sadržaj? Ova pitanja pokrivaju:

• Linearne jednadžbe
• Sustav jednadžbi
• Apsolutna vrijednost
• Grafičko crtanje linearnih jednadžbi
• Linearne nejednadžbe i sustavi nejednadžbi

U nastavku ću istražiti svako od ovih područja sadržaja. Objasnit ću vam što točno trebate znati u svakom području i provest ću vas kroz neke probleme iz prakse.

BILJEŠKA: Svi problemi iz prakse u ovom članku dolaze iz a real College Board SAT praktični test (Probni test #1).

Preporučam da ne čitate ovaj članak dok ne riješite Vježbeni test #1 (da vam ne pokvarim!). Ako niste riješili Practice Test #1, označite ovaj članak i vratite se nakon što ga završite. Ako ste već položili Vježbeni test #1, čitajte dalje!

Raščlamba pitanja iz srca algebre

Kao što sam spomenuo na početku članka, Srce algebre čini 33% matematičkog dijela, što znači 19 pitanja. Bit će ih osam u odjeljku 3 (test iz matematike bez kalkulatora) i 11 u odjeljku 4 (test iz matematike s kalkulatorom).

Pitanja Heart of Algebra razlikuju se u prezentaciji. Budući da ih je toliko mnogo, Upravni odbor Fakulteta morao je pomiješati kako vam postavlja ta pitanja. Vidjet ćete pitanja s višestrukim izborom i pitanja iz mreže Heart of Algebra. Možete jednostavno predstaviti jednadžbom(ama) i treba ih riješiti ili biste mogli dobit ćete scenarij stvarnog svijeta kao problem s riječima i trebate izraditi jednadžbu(e) kako biste pronašli odgovor.

Matematički odjeljak SAT predstavlja pitanja prema redoslijedu težine (definirano koliko je prosječnom učeniku potrebno da riješi problem i postotkom učenika koji točno odgovore na pitanje). U cijelom odjeljku vidjet ćete pitanja Heart of Algebra : one jednostavne, 'jednostavne' pojavit će se na početku višestrukog izbora i rešetki, dok će se one zahtjevnije koje zahtijevaju izradu jednadžbe ili jednadžbi za rješavanje pojaviti pri kraju.

Dat ću primjere za svaku vrstu pitanja (lakih i teških) dok budemo učili o svakom području sadržaja u sljedećem odjeljku.

Na putu smo osvajanja algebre!

Raščlambe područja sadržaja

Linearne jednadžbe

Pitanja o linearnoj jednadžbi mogu se predstaviti na nekoliko načina. Lakša pitanja o linearnoj jednadžbi tražit će od vas da riješite linearnu jednadžbu koja vam je dana. Teža pitanja o linearnoj jednadžbi tražit će od vas da napišete linearnu jednadžbu koja predstavlja danu situaciju.

Nema problema s vježbom kalkulatora

Ovo pitanje je jedno od najjednostavnijih, najlakših i najizravnijih pitanja u srcu algebre da ćeš vidjeti. Pitanje samo traži od vas da riješite linearnu jednadžbu bez da je smjestite u situaciju stvarnog svijeta koja bi zahtijevala da shvatite kontekst kao i jednadžbu.

Objašnjenje odgovora:

Budući da je $k=3$, k u jednadžbi može se zamijeniti s 3, što daje ${x-1}/{3}=3$. Množenje obje strane ${x-1}/{3}=3$ s 3 daje $x-1=9$, a ako svakoj strani dodate 1, rezultat je $x=10$. D je točan odgovor.

Savjet:

Ako ste se mučili s ovim pitanjem, mogli biste ga riješiti tako da uključite izbore odgovora za x i vidite koji od njih funkcionira. Uključivanje će funkcionirati, ali će vam trebati više vremena od jednostavnog rješavanja jednadžbe.

Ako riješite jednadžbu da biste pronašli x, možete još jednom provjeriti svoj odgovor tako da ga uključite. Ako uključite svoj izbor odgovora za x, a obje strane jednadžbe su jednake, znate da imate točan odgovor!

Sljedeće pitanje je malo izazovniji budući da od vas traži da izradite linearnu jednadžbu koja predstavlja scenarij stvarnog svijeta koji predstavlja.

Objašnjenje odgovora:

Postoje dva načina za pristup ovom problemu.

Pristup 1: Ukupan broj poruka koje je poslao Armand jednak je njegovoj brzini slanja SMS-ova (m SMS-ova/sat) pomnoženom s 5 sati koje je proveo slajući SMS-ove: m SMS-ova/sat × 5 sati = $5m$ SMS-ova. Slično tome, ukupan broj poruka koje je poslao Tyrone jednak je njegovoj stopi slanja SMS-ova (p SMS-ova/sat) pomnoženo s 4 sata koje je proveo u slanju SMS-ova: p SMS-ova/sat × 4 sata = $4p$ SMS-ova. Ukupan broj poruka koje su poslali Armand i Tyrone jednak je zbroju ukupnog broja poruka koje je poslao Armand i ukupnog broja poruka koje je poslao Tyrone: $5m+4p$. C je točan odgovor.

Pristup 2: Odaberite brojeve i uključite ih. Na primjer, odabrat ću brojeve i reći da Armand šalje 3 poruke na sat, a Tyrone šalje 10 poruka na sat. Na temelju danih informacija, ako Armand šalje poruke 5 sati, Armand je poslao (3 poruke po satu) (5 sati) poruke ili 15 poruka; ako Tyrone šalje poruke 4 sata, Tyrone je poslao (10 poruka na sat) (4 sata) poruka ili 40 poruka. Stoga je ukupan broj poruka koje su poslali Armand i Tyrone 15$+40=55$ poruka. Sada ubacujem brojeve koje sam odabrao u odgovore i vidim odgovara li broj tekstova 55 tekstova, tako da za odgovor C, $5(3) +4(10)=15+40=55$ tekstova. Stoga je C točan odgovor. NAPOMENA: za ovo pitanje ova je strategija bila sporija, ali za kompliciranija pitanja ovo može biti brži i lakši pristup.

Savjet:

Poduzmite ove probleme korak po korak. Izračunajte Armandov ukupan broj SMS poruka, zatim izračunajte Tyroneov ukupan broj SMS poruka, a zatim ih kombinirajte u jedan izraz. Nemojte žuriti s konačnim odgovorom. Mogli biste usput pogriješiti.

Sustavi jednadžbi

Pitanja o sustavima jednadžbi bit će predstavljena na sličan način kao pitanja o linearnim jednadžbama; međutim, oni su teži jer sada morate učiniti više koraka i/ili stvoriti drugu jednadžbu.

The jednostavniji sustav jednadžbi pitanja tražit će od vas da riješite jednu varijablu kada dobijete dvije jednadžbe s dvije varijable.

The teža pitanja sustava jednadžbi zahtijevat će od vas da napišete sustav jednadžbi za predstavljanje dane situacije i zatim riješite jednu varijablu pomoću jednadžbi koje ste izradili.

Nema problema s vježbom kalkulatora

Ovo je pitanje nedvojbeno najjednostavniji, najlakši i najjednostavniji sustavi jednadžbi pitanja da ćeš vidjeti. Postavlja jednadžbe umjesto vas i jednostavno traži od vas da riješite x.

Objašnjenje odgovora:

Oduzimanje lijeve i desne strane od $x+y=−9$ od odgovarajućih strana od $x+2y =−25$ daje $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , što je ekvivalentno $y=−16$. Zamjenom $−16$ s $y$ u $x+y=−9$ dobiva se $x+(−16)=−9$, što je ekvivalentno $x=−9−(−16) =7$. Točan odgovor je 7.

Savjet:

Uključivanje može biti dobra opcija ako dobijete ovo pitanje u višestrukom izboru (što ovdje nije slučaj). Međutim, mogli ste uključiti i svoj odgovor da još jednom provjerite svoj rad!

Evo još jednog prilično jednostavnog pitanja o sustavu jednadžbi, ali jest malo teže budući da trebate dati odgovor i za x i za y (što stvara više mogućnosti za pogrešku).

Objašnjenje odgovora:

Dodavanje x i 19 objema stranama $2y−x=−19$ daje $x=2y+19$. Zatim, zamjena $2y+19$ za x u $3x+4y=−23$ daje $3(2y + 19)+4y=−23$. Ova zadnja jednadžba je ekvivalentna $10y+57=−23$. Rješavanje $10y+57=−23$ daje $y=−8$. Konačno, zamjena −8 za y u $2y−x=−19$ daje $2(−8)−x=−19$, ili $x=3$. Stoga je rješenje $(x, y)$ danog sustava jednadžbi $(3, −8)$.

Savjet:

Uključivanje u struju također bi bio brz način rješavanja ovog problema! Kad se od vas traži da riješite obje varijable u pitanju sustava jednadžbi, uvijek se pokušajte uključiti!

Slijedi a malo teže. Iako su vam zadane jednadžbe, i dalje morate odrediti što vam se postavlja u pitanju (koju varijablu trebate riješiti), što je malo veći izazov jer vam postavlja pitanje koristeći scenarij iz stvarnog svijeta. Također, trebate ga riješiti pomoću mentalne matematike (budući da je u odjeljku bez kalkulatora).

Objašnjenje odgovora:

Da biste odredili cijenu po funti govedine kada je bila jednaka cijeni po funti piletine, odredite vrijednost x (broj tjedana nakon 1. srpnja) kada su dvije cijene bile jednake. Cijene su bile jednake kada je $b=c$; to jest, kada je $2,35+0,25x=1,75+0,40x$. Ova zadnja jednadžba je ekvivalentna $0,60=0,15x$, pa je $x={0,6}/{0,15}=4$. Zatim da biste odredili $b$, cijenu po funti govedine, zamijenite 4 za $x$ u $b=2,35+0,25x$, što daje $b=2,35+0,25(4)=3,35$ dolara po funti. Dakle, D je točan odgovor.

Savjet:

Uzmite si vremena radeći kroz svaki korak. Lako je napraviti malu pogrešku i dobiti pogrešan odgovor.

Problem vježbe kalkulatora

Slijedi jedno od najtežih pitanja Heart of Algebra. Na temelju scenarija iz stvarnog svijeta koji ste dobili u pitanju, trebate izraditi dvije jednadžbe i zatim ih riješiti.

Objašnjenje odgovora:

Da biste odredili broj prodanih salata, napišite i riješite sustav dviju jednadžbi. Neka je $x$ jednako broju prodanih salata i neka je $y$ jednako broju prodanih pića. Budući da je broj salata plus broj prodanih pića jednak 209, mora vrijediti jednadžba $x+y=209$. Budući da je svaka salata koštala 6,50, svaka gazirana pića koštala je 2,00, a ukupni prihod bio 836,50, jednadžba $6,50x+2,00y=836,50$ također mora vrijediti. Jednadžba $x+y=209$ ekvivalentna je $2x+2y=418$, a oduzimanje svake strane od $2x+2y=418$ od odgovarajuće strane od $6,50x+2,00y=836,50$ daje $4,5x=418,50 $. Stoga je broj prodanih salata x bio $x={418,50}/{4,50}=93$. Stoga je B točan odgovor.

Savjet:

Poduzmite ove probleme korak po korak. Napišite jednadžbu za ukupan broj prodanih salata i pića, zatim izračunajte jednadžbu za prihod, a zatim riješite. Nemojte žuriti ili biste mogli pogriješiti.

Apsolutna vrijednost

Obično će postojati samo jedno pitanje Apsolutne vrijednosti u odjeljku SAT matematika. Pitanje je obično prilično jednostavno i jednostavno, ali zahtijeva da znate pravila apsolutne vrijednosti da biste na njega točno odgovorili. Sve što je apsolutna vrijednost bit će u zagradama sa znakovima apsolutne vrijednosti koji izgledaju ovako: || Na primjer, $|-4|$ ili $|x-1|$

Apsolutna vrijednost je prikaz udaljenosti duž brojevne crte, naprijed ili nazad.

Ovo znači to sve što je u znaku apsolutne vrijednosti postat će pozitivno budući da predstavlja udaljenost duž brojevne crte i nemoguće je imati negativnu udaljenost. Na primjer, na gornjem brojevnom pravcu, -2 je 2 udaljen od 0. Sve unutar apsolutne vrijednosti postaje pozitivno.

To također znači da će jednadžba apsolutne vrijednosti uvijek imati dva rješenja . Na primjer, $|x-1|=2$ će imati dva rješenja $x-1=2$ i $x-1=-2$. Zatim rješavate svaku zasebnu jednadžbu kako biste pronašli dva rješenja, $x=3,-1$.

Kada radite na problemima apsolutne vrijednosti, zapamtite da trebate stvoriti dva odvojena rješenja, pozitivno i negativno, kao što smo učinili gore.

Problem vježbe kalkulatora

Objašnjenje odgovora:

Ako je vrijednost $|n−1|+1$ jednaka 0, tada je $|n−1|+1=0$. Oduzimanje 1 od obje strane ove jednadžbe daje $|n−1|=−1$. Izraz $|n−1|$ na lijevoj strani jednadžbe je apsolutna vrijednost $n−1$, i, kao što sam upravo spomenuo, apsolutna vrijednost nikada ne može biti negativan broj budući da predstavlja udaljenost. Dakle, $|n−1|=−1$ nema rješenja. Stoga ne postoje vrijednosti za n za koje je vrijednost $|n−1|+1$ jednaka 0. D je točan odgovor.

Savjet:

Zapamtite pravila apsolutne vrijednosti (uvijek je pozitivna!). Ako se sjećate pravila, trebali biste dobro postaviti pitanje!

Grafičko crtanje linearnih jednadžbi

Ova pitanja testiraju vašu sposobnost čitanja grafikona i njegove interpretacije u obliku $y=mx+b$. Brzo osvježenje, $y=mx+b$ je jednadžba nagiba i presjeka linije, gdje m predstavlja nagib, a b predstavlja y-odsjek.

U ovim će vam pitanjima obično biti prikazan graf pravca i morat ćete odrediti koliki su nagib i presječak y da biste napisali jednadžbu pravca.

Problem vježbe kalkulatora

Objašnjenje odgovora:

Odnos između h i C predstavljen je bilo kojom jednadžbom danog pravca. C-odsječak pravca je 5. Budući da točke $(0, 5)$ i $(1, 8)$ leže na pravcu, nagib pravca je ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Stoga se odnos između h i C može prikazati s $C=3h+5$, jednadžbom nagiba i presjeka linije. C je točan odgovor.

Savjet:

Upamtite oblik presjeka nagiba ($y=mx+b$) i jednadžbu nagiba $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$. Znati što svaka varijabla u jednadžbama znači. Ako znate sve ovo, trebali biste moći riješiti bilo koji problem crtanja linearne jednadžbe koji vam se zada.

Linearne nejednadžbe i sustavi linearnih nejednadžbi

Ovi su nedvojbeno najizazovnija pitanja Srca algebre jer se mnogi učenici muče kada se varijable kombiniraju s nejednakostima. Ako trebate brzo, ali dubinsko osvježenje o nejednakostima, pogledajte naš vodič za nejednakosti.

Ova pitanja obično se pojavljuju pri kraju višestrukog izbora i rešetki u svakom odjeljku. Ova će pitanja biti predstavljena kao jednostavne već postavljene nejednakosti (od vas se neće tražiti da stvorite nejednakosti niti će vam biti predstavljen scenarij stvarnog svijeta koji koristi nejednakosti). Iako su predstavljena na jednostavan način, ova su pitanja izazovna i lako je pogriješiti, pa si uzmite vremena!

Zadaci za vježbu kalkulatora

Objašnjenje odgovora:

Oduzimanjem $3x$ i dodavanjem 3 objema stranama $3x−5≥4x−3$ dobiva se $−2≥x$. Prema tome, x je rješenje za $3x−5≥4x−3$ ako i samo ako je x manji ili jednak −2 i x NIJE rješenje za $3x−5≥4x−3$ ako i samo ako x je veći od −2. Od ponuđenih izbora samo je −1 veći od −2 i stoga ne može biti vrijednost x. A je točan odgovor.

Također možete pokušati odgovoriti na ovo tako da uključite izbore odgovora i vidite koji od njih nije uspio. Ako uključite A u nejednadžbu, dobit ćete $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Pojednostavljenjem nejednakosti dobili biste -8≥-7, što nije točno, pa je A točan odgovor.

Savjet

Zapamtite pravila nejednakosti! Uzmite si vremena probijajući se kroz svaki korak kako ne biste pogriješili. Također, ne zaboravite pokušati uključiti izbore odgovora kako biste pronašli točan odgovor!

Pogledajmo još jedan primjer.

Objašnjenje odgovora:

Budući da je (0, 0) rješenje sustava nejednadžbi, zamjena 0 umjesto x i 0 umjesto y u danom sustavu mora rezultirati dvjema pravim nejednadžbama. Nakon ove zamjene, y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b. Dakle, a je pozitivan, a b negativan. Prema tome, a > b. Izbor A je točan.

Savjet:

Tretirajte ovaj sustav nejednakosti s četiri varijable isto kao što biste tretirali sustav nejednakosti s dvije varijable. Upamtite da ako je (0,0) rješenje to znači da kada je x=0, y=0.

4 ključne strategije za srce algebre

Ubacio sam strategije za napad na ova pitanja kroz ovaj članak u odjeljcima sa savjetima, ali sada ću ih sažeti ovdje.

Strategija #1: Zapamtite pravila i formulu

Morate znati pravila nejednakosti, pravila apsolutne vrijednosti i formulu za verziju odsječnog nagiba pravca ($y=mx+b$) da biste točno odgovorili na te vrste algebarskih pitanja. Bez pravila i formule ova su pitanja gotovo nemoguća.

Ako vam je potrebna dodatna pomoć s bilo kojim konceptom, pogledajte naše detaljne vodiče za linearne jednadžbe, sustave jednadžbi, apsolutnu vrijednost, oblik presjeka-nagiba i linearne nejednadžbe i sustave nejednakosti.

Strategija #2: Ubacivanje odgovora

Na pitanja s višestrukim izborom, trebali biste uvijek provjerite možete li uključiti odgovore na zadane jednadžbe ili nejednadžbe kako biste pronašli točan odgovor . Ponekad će ovaj pristup biti puno jednostavniji od pokušaja rješavanja jednadžbe.

Čak i ako ustanovite da vas dodavanje odgovora usporava, trebali biste barem razmisliti o tome da ga koristite za provjeru svog rada. Uključite odgovor koji ste pronašli i provjerite rezultira li uravnoteženom jednadžbom ili ispravnim nejednakostima. Ako jest, znajte da imate točan odgovor!

Uključite ga! Uključite ga!

Strategija #3: Uključivanje brojeva

Ako dodavanje odgovora nije mogućnost, često postoji mogućnost dodavanja brojeva, kao u 2. pitanju iznad. Kada birate brojeve za umetanje, općenito, ne preporučujem korištenje -1, 0 ili 1 (jer mogu rezultirati pogrešnim odgovorima) i svakako pročitajte pitanje kako biste vidjeli koje brojeve trebate odabrati. Na primjer, u pitanju 2, brojevi su predstavljali broj poslanih tekstualnih poruka, tako da ne biste trebali koristiti negativan broj za predstavljanje broja tekstualnih poruka jer je nemoguće poslati negativan broj tekstualnih poruka.

Za nejednakosti ovo je posebno važno, često će pitanje reći 'sljedeće vrijedi za sve $x>0$.' Ako je to slučaj, ne možete uključiti 0 ili -5; možete uključiti samo brojeve veće od 0 budući da je to parametar postavljen pitanjem.

Strategija #4: Radite korak po korak

Za pitanja Heart of Algebra potrebno je odvojiti vrijeme za svaki korak. Ova pitanja mogu uključivati ​​5, 10, 15 koraka, a vi morate odvojiti vrijeme kako biste bili sigurni da ne napravite malu pogrešku u koraku 3 koja će rezultirati netočnim odgovorom. Znate svoje stvari, stoga ne dopustite da vas male pogreške koštaju bodova!

Što je sljedeće?

Sada kada znate što možete očekivati ​​u pitanjima Heart of Algebra, provjerite jeste li spremni sve druge matematičke teme vidjet ćeš na SAT-u. Svi naši matematički vodiči provest će vas kroz strategije i probleme u praksi za sve teme obrađene u matematičkom dijelu, od cijelih brojeva do omjera, krugova do poligona (i više!).

Osjećate li se zabrinuto zbog dana ispita? Pobrinite se da točno znate što trebate učiniti i ponijeti kako biste si olakšali um i smirili živce prije nego što dođe vrijeme za polaganje ispita SAT.

Ponestaje vam vremena za matematički dio SAT? Ne tražite dalje od našeg vodiča koji će vam pomoći da nadmašite vrijeme i povećate svoj SAT matematički rezultat.

Pecati da biste dobili savršen rezultat? Provjerite naše vodič za postizanje savršenih 800 , napisao perfektni strijelac.