TechCodeview

Želite li se testirati s najtežim SAT matematičkim pitanjima? Želite li znati što ova pitanja čini tako teškima i kako ih najbolje riješiti? Ako ste spremni stvarno zariti zube u odjeljak SAT matematike i ciljati na taj savršeni rezultat, onda je ovo vodič za vas.

Sastavili smo ono što vjerujemo da jest 15 najtežih pitanja za trenutni SAT , sa strategijama i objašnjenjima odgovora za svaku. Ovo su sve teška SAT matematička pitanja iz SAT praktičnih testova College Boarda, što znači da je njihovo razumijevanje jedan od najboljih načina učenja za one od vas koji teže savršenstvu.

Slika: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kratak pregled SAT matematike

Treći i četvrti dio SAT-a uvijek će biti dijelovi iz matematike . Prvi matematički pododjeljak (označen s '3') radi ne omogućuju korištenje kalkulatora, dok drugi matematički pododjeljak (označen kao '4') radi dopustiti korištenje kalkulatora. Ipak, ne brinite previše o odjeljku bez kalkulatora: ako vam nije dopušteno koristiti kalkulator za pitanje, to znači da vam ne treba kalkulator da odgovorite na njega.

Svaki matematički pododjeljak raspoređen je prema rastućoj težini (pri čemu što je duže potrebno za rješavanje problema i što je manje ljudi koji na njega točno odgovore, to je teži). U svakom pododjeljku, pitanje 1 bit će 'lako', a pitanje 15 smatrat će se 'teškim'. Međutim, uzlazna težina resetira se s lake na tešku na grid-inovima.

Stoga su pitanja s višestrukim izborom raspoređena prema rastućoj težini (pitanja 1 i 2 bit će najlakša, pitanja 14 i 15 bit će najteža), ali se razina težine poništava za odjeljak u mreži (što znači da će pitanja 16 i 17 ponovno biti 'lako', a pitanja 19 i 20 bit će vrlo teška).

Uz vrlo malo izuzetaka, dakle, najteži matematički problemi SAT bit će grupirani na kraju segmenata s višestrukim izborom ili u drugoj polovici pitanja u mreži. Međutim, osim položaja na testu, ova pitanja dijele i nekoliko drugih zajedničkih karakteristika. Za minutu ćemo pogledati primjere pitanja i kako ih riješiti, zatim ćemo ih analizirati kako bismo shvatili što je zajedničko ovim vrstama pitanja.

Ali prvo: Trebate li se upravo sada usredotočiti na najteža matematička pitanja?

Ako ste tek počeli s pripremama za učenje (ili ako ste jednostavno preskočili ovaj prvi, ključni korak), svakako stanite i položite potpuni test vježbanja kako biste procijenili svoju trenutnu razinu bodovanja. Pogledajte naš vodič za svi besplatni SAT praktični testovi dostupni online a zatim sjednite da odjednom polažete test.

Apsolutno najbolji način da procijenite svoju trenutnu razinu je jednostavno pristupiti SAT testu kao da je stvaran, držeći se strogog vremena i radeći ravno uz samo dopuštene stanke (znamo—vjerojatno nije vaš omiljeni način da provedete subotu). Nakon što steknete dobru predodžbu o svojoj trenutnoj razini i postotnom poretku, možete postaviti prekretnice i ciljeve za svoj konačni rezultat SAT Math.

Ako trenutno postižete bodove u rasponu 200-400 ili 400-600 na SAT Math, najbolje je da prvo pogledate naš vodič za poboljšanje vašeg rezultata iz matematike stalno imati 600 ili više od 600 prije nego počnete pokušavati rješavati najteže matematičke probleme na testu.

Međutim, ako već imate više od 600 u odjeljku matematike i želite testirati svoju hrabrost za pravi SAT, onda svakako nastavite s ostatkom ovog vodiča. Ako težite savršenom (ili blizu) , tada ćete morati znati kako izgledaju najteža pitanja iz matematike SAT i kako ih riješiti. I srećom, to je upravo ono što ćemo učiniti.

UPOZORENJE: Budući da ih je ograničen broj službeni SAT praktični testovi , možda ćete htjeti pričekati s čitanjem ovog članka dok ne isprobate sva ili većinu od prva četiri službena probna testa (budući da je većina pitanja u nastavku preuzeta iz tih testova). Ako ste zabrinuti da ćete pokvariti te testove, prestanite sada čitati ovaj vodič; vratite se i pročitajte kada ih dovršite.

Sada idemo na naš popis pitanja (vau)!

Slika: Niytx /DeviantArt

15 najtežih SAT matematičkih pitanja

Sada kada ste sigurni da biste trebali pokušati odgovoriti na ova pitanja, krenimo odmah! U nastavku smo odabrali 15 najtežih pitanja iz SAT matematike koja možete isprobati, zajedno s uputama o tome kako doći do odgovora (ako ste zbunjeni).

Bez kalkulatora SAT matematičkih pitanja

Pitanje 1

$$C=5/9(F-32)$$

Gornja jednadžba pokazuje kako se temperatura $F$, mjerena u stupnjevima Fahrenheita, odnosi na temperaturu $C$, mjerenu u stupnjevima Celzijusa. Na temelju jednadžbe, što od sljedećeg mora biti točno?

1. Porast temperature od 1 stupanj Fahrenheita ekvivalentan je porastu temperature od /9$ stupnjeva Celzijusa.
2. Porast temperature od 1 stupnja Celzijusa je ekvivalentan porastu temperature od 1,8 stupnjeva Fahrenheita.
3. Porast temperature od /9$ stupnjeva Fahrenheita ekvivalentan je porastu temperature od 1 stupnja Celzija.

A) Samo ja
B) Samo II
C) Samo III
D) Samo I i II

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Zamislite jednadžbu kao jednadžbu za liniju

$$y=mx+b$$

distributivni zakon Boolean algebra

gdje se u ovom slučaju

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

ili

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Možete vidjeti da je nagib grafikona /{9}$, što znači da je za povećanje od 1 stupanj Fahrenheita povećanje /{9}$ od 1 stupnja Celzijusa.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Dakle, tvrdnja I je istinita. To je jednako kao da je povećanje od 1 stupnja Celzijusa jednako povećanju od /{5}$ stupnjeva Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Budući da je /{5}$ = 1,8, izjava II je istinita.

Jedini odgovor koji ima i tvrdnju I i tvrdnju II kao istinite je D , ali ako imate vremena i želite biti potpuno temeljiti, također možete provjeriti je li tvrdnja III (povećanje od /{9}$ stupnja Fahrenheita jednako porastu temperature od 1 stupnja Celzijusa) točna :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (što je ≠ 1)$$

Povećanje od /9$ stupnjeva Fahrenheita dovodi do povećanja od /{81}$, a ne 1 stupanj Celzijusa, pa stoga izjava III nije točna.

Konačni odgovor je D.

pitanje 2

Jednadžba${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$vrijedi za sve vrijednosti $x≠2/a$, gdje je $a$ konstanta.

Kolika je vrijednost $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Postoje dva načina da se ovo pitanje riješi. Brži način je pomnožiti svaku stranu dane jednadžbe s $ax-2$ (tako da se možete riješiti razlomka). Kada svaku stranu pomnožite s $ax-2$, trebali biste imati:

$x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Zatim biste trebali pomnožiti $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ koristeći FOIL.

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Zatim smanjite desnu stranu jednadžbe

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Budući da koeficijenti $x^2$-člana moraju biti jednaki na obje strane jednadžbe, $−8a = 24$, ili $a = −3$.

Druga opcija koja je duža i zamornija jest pokušati uključiti sve odgovore za a i vidjeti koji odgovor čini obje strane jednadžbe jednakima. Opet, ovo je duža opcija i ne preporučujem je za stvarni SAT jer će izgubiti previše vremena.

Konačni odgovor je B.

pitanje 3

Ako je x-y = 12$, koja je vrijednost ${8^x}/{2^y}$?

A) ^{12}$
B) ^4$
C) ^2$
D) Vrijednost se ne može odrediti iz danih informacija.

tostring java metoda

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Jedan pristup je izraziti

$${8^x}/{2^y}$$

tako da su brojnik i nazivnik izraženi istom osnovom. Budući da su 2 i 8 potencije broja 2, zamjena ^3$ za 8 u brojniku ${8^x}/{2^y}$ daje

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

koji se može prepisati

$${2^3x}/{2^y}$$

Budući da brojnik i nazivnik imaju zajedničku bazu, ovaj izraz se može prepisati kao ^(3x−y)$. U pitanju stoji da je x − y = 12$, pa se može zamijeniti 12 za eksponent, x − y$, što znači da

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Konačni odgovor je A.

pitanje 4

Točke A i B leže na kružnici polumjera 1, a luk ${AB}↖⌢$ ima duljinu $π/3$. Koliki je dio opsega kruga duljina luka ${AB}↖⌢$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste saznali odgovor na ovo pitanje, prvo morate znati formulu za pronalaženje opsega kruga.

Opseg, $C$, kruga je $C = 2πr$, gdje je $r$ polumjer kruga. Za zadanu kružnicu polumjera 1, opseg je $C = 2(π)(1)$, ili $C = 2π$.

Da biste saznali koliki dio opsega iznosi duljina ${AB}↖⌢$, podijelite duljinu luka s opsegom, što daje $π/3 ÷ 2π$. Ovo dijeljenje može se predstaviti kao $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Razlomak /6$ također se može prepisati kao

Želite li se testirati s najtežim SAT matematičkim pitanjima? Želite li znati što ova pitanja čini tako teškima i kako ih najbolje riješiti? Ako ste spremni stvarno zariti zube u odjeljak SAT matematike i ciljati na taj savršeni rezultat, onda je ovo vodič za vas.

Sastavili smo ono što vjerujemo da jest 15 najtežih pitanja za trenutni SAT , sa strategijama i objašnjenjima odgovora za svaku. Ovo su sve teška SAT matematička pitanja iz SAT praktičnih testova College Boarda, što znači da je njihovo razumijevanje jedan od najboljih načina učenja za one od vas koji teže savršenstvu.

Slika: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kratak pregled SAT matematike

Treći i četvrti dio SAT-a uvijek će biti dijelovi iz matematike . Prvi matematički pododjeljak (označen s '3') radi ne omogućuju korištenje kalkulatora, dok drugi matematički pododjeljak (označen kao '4') radi dopustiti korištenje kalkulatora. Ipak, ne brinite previše o odjeljku bez kalkulatora: ako vam nije dopušteno koristiti kalkulator za pitanje, to znači da vam ne treba kalkulator da odgovorite na njega.

Svaki matematički pododjeljak raspoređen je prema rastućoj težini (pri čemu što je duže potrebno za rješavanje problema i što je manje ljudi koji na njega točno odgovore, to je teži). U svakom pododjeljku, pitanje 1 bit će 'lako', a pitanje 15 smatrat će se 'teškim'. Međutim, uzlazna težina resetira se s lake na tešku na grid-inovima.

Stoga su pitanja s višestrukim izborom raspoređena prema rastućoj težini (pitanja 1 i 2 bit će najlakša, pitanja 14 i 15 bit će najteža), ali se razina težine poništava za odjeljak u mreži (što znači da će pitanja 16 i 17 ponovno biti 'lako', a pitanja 19 i 20 bit će vrlo teška).

Uz vrlo malo izuzetaka, dakle, najteži matematički problemi SAT bit će grupirani na kraju segmenata s višestrukim izborom ili u drugoj polovici pitanja u mreži. Međutim, osim položaja na testu, ova pitanja dijele i nekoliko drugih zajedničkih karakteristika. Za minutu ćemo pogledati primjere pitanja i kako ih riješiti, zatim ćemo ih analizirati kako bismo shvatili što je zajedničko ovim vrstama pitanja.

Ali prvo: Trebate li se upravo sada usredotočiti na najteža matematička pitanja?

Ako ste tek počeli s pripremama za učenje (ili ako ste jednostavno preskočili ovaj prvi, ključni korak), svakako stanite i položite potpuni test vježbanja kako biste procijenili svoju trenutnu razinu bodovanja. Pogledajte naš vodič za svi besplatni SAT praktični testovi dostupni online a zatim sjednite da odjednom polažete test.

Apsolutno najbolji način da procijenite svoju trenutnu razinu je jednostavno pristupiti SAT testu kao da je stvaran, držeći se strogog vremena i radeći ravno uz samo dopuštene stanke (znamo—vjerojatno nije vaš omiljeni način da provedete subotu). Nakon što steknete dobru predodžbu o svojoj trenutnoj razini i postotnom poretku, možete postaviti prekretnice i ciljeve za svoj konačni rezultat SAT Math.

Ako trenutno postižete bodove u rasponu 200-400 ili 400-600 na SAT Math, najbolje je da prvo pogledate naš vodič za poboljšanje vašeg rezultata iz matematike stalno imati 600 ili više od 600 prije nego počnete pokušavati rješavati najteže matematičke probleme na testu.

Međutim, ako već imate više od 600 u odjeljku matematike i želite testirati svoju hrabrost za pravi SAT, onda svakako nastavite s ostatkom ovog vodiča. Ako težite savršenom (ili blizu) , tada ćete morati znati kako izgledaju najteža pitanja iz matematike SAT i kako ih riješiti. I srećom, to je upravo ono što ćemo učiniti.

UPOZORENJE: Budući da ih je ograničen broj službeni SAT praktični testovi , možda ćete htjeti pričekati s čitanjem ovog članka dok ne isprobate sva ili većinu od prva četiri službena probna testa (budući da je većina pitanja u nastavku preuzeta iz tih testova). Ako ste zabrinuti da ćete pokvariti te testove, prestanite sada čitati ovaj vodič; vratite se i pročitajte kada ih dovršite.

Sada idemo na naš popis pitanja (vau)!

Slika: Niytx /DeviantArt

15 najtežih SAT matematičkih pitanja

Sada kada ste sigurni da biste trebali pokušati odgovoriti na ova pitanja, krenimo odmah! U nastavku smo odabrali 15 najtežih pitanja iz SAT matematike koja možete isprobati, zajedno s uputama o tome kako doći do odgovora (ako ste zbunjeni).

Bez kalkulatora SAT matematičkih pitanja

Pitanje 1

$$C=5/9(F-32)$$

Gornja jednadžba pokazuje kako se temperatura $F$, mjerena u stupnjevima Fahrenheita, odnosi na temperaturu $C$, mjerenu u stupnjevima Celzijusa. Na temelju jednadžbe, što od sljedećeg mora biti točno?

1. Porast temperature od 1 stupanj Fahrenheita ekvivalentan je porastu temperature od $5/9$ stupnjeva Celzijusa.
2. Porast temperature od 1 stupnja Celzijusa je ekvivalentan porastu temperature od 1,8 stupnjeva Fahrenheita.
3. Porast temperature od $5/9$ stupnjeva Fahrenheita ekvivalentan je porastu temperature od 1 stupnja Celzija.

A) Samo ja
B) Samo II
C) Samo III
D) Samo I i II

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Zamislite jednadžbu kao jednadžbu za liniju

$$y=mx+b$$

gdje se u ovom slučaju

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

ili

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Možete vidjeti da je nagib grafikona ${5}/{9}$, što znači da je za povećanje od 1 stupanj Fahrenheita povećanje ${5}/{9}$ od 1 stupnja Celzijusa.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Dakle, tvrdnja I je istinita. To je jednako kao da je povećanje od 1 stupnja Celzijusa jednako povećanju od ${9}/{5}$ stupnjeva Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Budući da je ${9}/{5}$ = 1,8, izjava II je istinita.

Jedini odgovor koji ima i tvrdnju I i tvrdnju II kao istinite je D , ali ako imate vremena i želite biti potpuno temeljiti, također možete provjeriti je li tvrdnja III (povećanje od ${5}/{9}$ stupnja Fahrenheita jednako porastu temperature od 1 stupnja Celzijusa) točna :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (što je ≠ 1)$$

Povećanje od $5/9$ stupnjeva Fahrenheita dovodi do povećanja od ${25}/{81}$, a ne 1 stupanj Celzijusa, pa stoga izjava III nije točna.

Konačni odgovor je D.

pitanje 2

Jednadžba${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$vrijedi za sve vrijednosti $x≠2/a$, gdje je $a$ konstanta.

Kolika je vrijednost $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Postoje dva načina da se ovo pitanje riješi. Brži način je pomnožiti svaku stranu dane jednadžbe s $ax-2$ (tako da se možete riješiti razlomka). Kada svaku stranu pomnožite s $ax-2$, trebali biste imati:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Zatim biste trebali pomnožiti $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ koristeći FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Zatim smanjite desnu stranu jednadžbe

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Budući da koeficijenti $x^2$-člana moraju biti jednaki na obje strane jednadžbe, $−8a = 24$, ili $a = −3$.

Druga opcija koja je duža i zamornija jest pokušati uključiti sve odgovore za a i vidjeti koji odgovor čini obje strane jednadžbe jednakima. Opet, ovo je duža opcija i ne preporučujem je za stvarni SAT jer će izgubiti previše vremena.

Konačni odgovor je B.

pitanje 3

Ako je $3x-y = 12$, koja je vrijednost ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Vrijednost se ne može odrediti iz danih informacija.

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Jedan pristup je izraziti

$${8^x}/{2^y}$$

tako da su brojnik i nazivnik izraženi istom osnovom. Budući da su 2 i 8 potencije broja 2, zamjena $2^3$ za 8 u brojniku ${8^x}/{2^y}$ daje

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

koji se može prepisati

$${2^3x}/{2^y}$$

Budući da brojnik i nazivnik imaju zajedničku bazu, ovaj izraz se može prepisati kao $2^(3x−y)$. U pitanju stoji da je $3x − y = 12$, pa se može zamijeniti 12 za eksponent, $3x − y$, što znači da

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Konačni odgovor je A.

pitanje 4

Točke A i B leže na kružnici polumjera 1, a luk ${AB}↖⌢$ ima duljinu $π/3$. Koliki je dio opsega kruga duljina luka ${AB}↖⌢$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste saznali odgovor na ovo pitanje, prvo morate znati formulu za pronalaženje opsega kruga.

Opseg, $C$, kruga je $C = 2πr$, gdje je $r$ polumjer kruga. Za zadanu kružnicu polumjera 1, opseg je $C = 2(π)(1)$, ili $C = 2π$.

Da biste saznali koliki dio opsega iznosi duljina ${AB}↖⌢$, podijelite duljinu luka s opsegom, što daje $π/3 ÷ 2π$. Ovo dijeljenje može se predstaviti kao $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Razlomak $1/6$ također se može prepisati kao $0,166$ ili $0,167$.

Konačni odgovor je $1/6$, $0,166$ ili $0,167$.

pitanje 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Ako se gornji izraz prepiše u obliku $a+bi$, gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, koja je vrijednost $a$? (Napomena: $i=√{-1}$)

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste prepisali ${8-i}/{3-2i}$ u standardnom obliku $a + bi$, trebate pomnožiti brojnik i nazivnik ${8-i}/{3-2i}$ konjugatom , 3 $ + 2 i $. Ovo je jednako

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Budući da je $i^2=-1$, ovaj posljednji razlomak može se pojednostavljeno svesti na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

što dalje pojednostavljuje na $2 + i$. Stoga, kada se ${8-i}/{3-2i}$ prepiše u standardnom obliku a + bi, vrijednost a je 2.

Konačni odgovor je A.

Pitanje 6

U trokutu $ABC$ mjera $∠B$ je 90°, $BC=16$, a $AC$=20. Trokut $DEF$ sličan je trokutu $ABC$, gdje vrhovi $D$, $E$ i $F$ odgovaraju vrhovima $A$, $B$ i $C$, redom, a svaka stranica trokuta $ DEF$ je $1/3$ duljine odgovarajuće stranice trokuta $ABC$. Kolika je vrijednost $sinF$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Trokut ABC je pravokutni trokut s pravim kutom u B. Prema tome, $ov {AC}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta ABC, a $ov {AB}$ i $ov {BC}$ su katete pravokutni trokut ABC. Prema Pitagorinoj teoremi,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Budući da je trokut DEF sličan trokutu ABC, s vrhom F koji odgovara vrhu C, mjera $kuta ∠ {F}$ jednaka je mjeri $kuta ∠ {C}$. Prema tome, $sin F = sin C$. Iz duljina stranica trokuta ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hipotenuza}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Prema tome, $sinF ={3}/{5}$.

Konačni odgovor je ${3}/{5}$ ili 0,6.

SAT pitanja iz matematike dopuštena za kalkulator

Pitanje 7

Gornja nepotpuna tablica sažima broj ljevorukih učenika i dešnjaka prema spolu za učenike osmog razreda srednje škole Keisel. Dešnjaka je 5 puta više nego ljevorukih studentica, a dešnjaka je 9 puta više nego ljevorukih studenata. ako u školi ima ukupno 18 ljevorukih učenika i 122 dešnjaka, što je od sljedećeg najbliže vjerojatnosti da je nasumično odabrana dešnjak ženskog spola? (Napomena: pretpostavimo da nitko od učenika osmog razreda nije i dešnjak i ljevoruk.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Kako biste riješili ovaj problem, trebali biste izraditi dvije jednadžbe koristeći dvije varijable ($x$ i $y$) i informacije koje ste dobili. Neka $x$ bude broj ljevorukih studentica i neka $y$ bude broj ljevorukih studenata. Koristeći informacije dane u zadatku, broj dešnjaka bit će $5x$, a broj dešnjaka bit će $9y$. Budući da je ukupan broj ljevorukih učenika 18, a ukupan broj dešnjaka 122, sustav jednadžbi u nastavku mora biti točan:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Kada riješite ovaj sustav jednadžbi, dobit ćete $x = 10$ i $y = 8$. Dakle, 5*10, ili 50, od 122 desnorukih učenika su žene. Stoga je vjerojatnost da je nasumično odabrana desnoruka studentica ženskog spola ${50}/{122}$, što na najbližu tisućinku iznosi 0,410.

Konačni odgovor je A.

Pitanja 8 i 9

Koristite sljedeće informacije za pitanje 7 i pitanje 8.

Ako kupci ulaze u trgovinu s prosječnom stopom od $r$ kupaca po minuti i svaki ostaje u trgovini prosječno vrijeme od $T$ minuta, dan je prosječan broj kupaca u trgovini, $N$, u bilo kojem trenutku po formuli $N=rT$. Ovaj odnos je poznat kao Littleov zakon.

Vlasnik Good Deals Storea procjenjuje da tijekom radnog vremena u trgovinu uđu u prosjeku 3 kupca po minuti te da se svaki od njih u prosjeku zadrži 15 minuta. Vlasnik trgovine koristi Littleov zakon da procijeni da u trgovini ima 45 kupaca u svakom trenutku.

Pitanje 8

Littleov zakon može se primijeniti na bilo koji dio trgovine, kao što je određeni odjel ili redovi blagajne. Vlasnik trgovine utvrđuje da tijekom radnog vremena približno 84 kupca po satu obave kupovinu i svaki od tih kupaca provede u prosjeku 5 minuta u redu na blagajni. Otprilike koliko kupaca u bilo kojem trenutku tijekom radnog vremena u prosjeku čeka u redu za blagajnu da obavi kupnju u trgovini Good Deals Store?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da pitanje kaže da se Littleov zakon može primijeniti na bilo koji pojedinačni dio trgovine (na primjer, samo red na blagajni), tada je prosječan broj kupaca, $N$, u redu na blagajni u bilo kojem trenutku $N = rT $, gdje je $r$ broj kupaca koji ulaze u red na blagajni po minuti, a $T$ je prosječan broj minuta koje svaki kupac provede u redu na blagajni.

Budući da 84 kupca po satu obave kupovinu, 84 kupca po satu stane u red za blagajnu. Međutim, to treba pretvoriti u broj kupaca u minuti (kako bi se koristilo s $T = 5$). Budući da jedan sat ima 60 minuta, cijena je ${84 kupaca po sat}/{60 minuta} = 1,4$ kupaca po minuti. Korištenje dane formule s $r = 1,4$ i $T = 5$ donosi

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Stoga je prosječan broj kupaca, $N$, u redu za blagajnu u bilo koje vrijeme tijekom radnog vremena 7.

Konačni odgovor je 7.

pitanje 9

Vlasnik Good Deals Storea otvara novu trgovinu u cijelom gradu. Za novu trgovinu vlasnik procjenjuje da će tijekom radnog vremena prosječno 90 kupaca posatuđu u dućan i svaki od njih ostane u prosjeku 12 minuta. Prosječan broj kupaca u novoj trgovini u bilo kojem trenutku je koliko posto manji od prosječnog broja kupaca u izvornoj trgovini u bilo kojem trenutku? (Napomena: zanemarite simbol postotka kada upisujete svoj odgovor. Na primjer, ako je odgovor 42,1%, unesite 42,1)

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Prema danim izvornim informacijama, procijenjeni prosječni broj kupaca u izvornoj trgovini u bilo kojem trenutku (N) je 45. U pitanju se navodi da u novoj trgovini upravitelj procjenjuje da je u prosjeku 90 kupaca na sat (60 minuta) ući u trgovinu, što je ekvivalentno 1,5 kupca po minuti (r). Voditelj također procjenjuje da svaki kupac ostaje u trgovini prosječno 12 minuta (T). Dakle, prema Littleovom zakonu, u novoj trgovini u svakom trenutku u prosjeku ima $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupaca. Ovo je

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

posto manje od prosječnog broja kupaca u originalnoj trgovini u bilo kojem trenutku.

Konačni odgovor je 60.

pitanje 10

U $xy$-ravnini točka $(p,r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=x+b$, gdje je $b$ konstanta. Točka s koordinatama $(2p, 5r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=2x+b$. Ako je $p≠0$, koja je vrijednost $r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da točka $(p,r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=x+b$, točka mora zadovoljavati jednadžbu. Zamjenom $p$ s $x$ i $r$ s $y$ u jednadžbi $y=x+b$ dobiva se $r=p+b$, ili $i b$ = $i r-i p $.

Slično, budući da točka $(2p,5r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=2x+b$, točka mora zadovoljavati jednadžbu. Zamjenom $2p$ s $x$ i $5r$ s $y$ u jednadžbi $y=2x+b$ daje se:

$5r=2(2p)+b$

5$r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Zatim, možemo postaviti dvije jednadžbe jednake $b$ jednake jedna drugoj i pojednostaviti:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Konačno, da bismo pronašli $r/p$, moramo obje strane jednadžbe podijeliti s $p$ i s $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Točan odgovor je B , 3/4 dolara.

Ako ste odabrali opcije A i D, možda ste netočno oblikovali svoj odgovor od koeficijenata u točki $(2p, 5r)$. Ako ste odabrali Izbor C, možda ste pobrkali $r$ i $p$.

Imajte na umu da, iako je ovo u odjeljku za kalkulator SAT-a, apsolutno vam ne treba vaš kalkulator da biste ga riješili!

Pitanje 11

Silos za žitarice izgrađen je od dva desna kružna stošca i pravog kružnog cilindra s unutarnjim mjerama prikazanim gornjom slikom. Od sljedećeg, što je najbliže volumenu silosa za žito, u kubičnim stopama?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916.3
D) 1047.2

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Volumen silosa za žitarice može se pronaći zbrajanjem volumena svih krutih tvari od kojih se sastoji (cilindar i dva stošca). Silos se sastoji od cilindra (visine 10 stopa i polumjera baze 5 stopa) i dva stošca (svaki visine 5 stopa i radijusa baze 5 stopa). Formule navedene na početku odjeljka SAT Math:

Volumen stošca

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volumen cilindra

$$V=πr^2h$$

može se koristiti za određivanje ukupnog volumena silosa. Budući da dva stošca imaju identične dimenzije, ukupni volumen, u kubnim stopama, silosa je dan sa

$$V_{silos}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

što je približno jednako 1047,2 kubičnih stopa.

Konačni odgovor je D.

Pitanje 12

Ako je $x$ prosjek (aritmetička sredina) od $m$ i $9$, $y$ je prosjek od $2m$ i $15$, a $z$ je prosjek od $3m$ i $18$, koliko je prosjek $x$, $y$ i $z$ u smislu $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 milijuna dolara + 14 dolara
D) 3 milijuna USD + 21 USD

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da je prosjek (aritmetička sredina) dvaju brojeva jednak zbroju dvaju brojeva podijeljenom s 2, jednadžbe $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$su istiniti. Prosjek $x$, $y$ i $z$ dan je kao ${x + y + z}/{3}$. Zamjenom izraza u m za svaku varijablu ($x$, $y$, $z$) dobiva se

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ovaj se razlomak može pojednostaviti na $m + 7$.

Konačni odgovor je B.

Pitanje 13

Funkcija $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ prikazana je grafom u $xy$-ravnini iznad. Ako je $k$ konstanta takva da jednadžba $f(x)=k$ ima tri stvarna rješenja, koja bi od sljedećeg mogla biti vrijednost $k$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Jednadžba $f(x) = k$ daje rješenja sustava jednadžbi

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

i

$$y = k$$

Realno rješenje sustava dviju jednadžbi odgovara točki presjeka grafova dviju jednadžbi u $xy$-ravnini.

Graf od $y = k$ je vodoravna linija koja sadrži točku $(0, k)$ i siječe graf kubne jednadžbe tri puta (budući da ima tri realna rješenja). S obzirom na graf, jedina horizontalna linija koja bi tri puta presijecala kubičnu jednadžbu je linija s jednadžbom $y = −3$, odnosno $f(x) = −3$. Prema tome, $k$ je $-3$.

Konačni odgovor je D.

Pitanje 14

$$q={1/2}nv^2$$

Dinamički tlak $q$ koji stvara tekućina koja se kreće brzinom $v$ može se pronaći pomoću gornje formule, gdje je $n$ konstantna gustoća tekućine. Zrakoplovni inženjer koristi formulu za pronalaženje dinamičkog tlaka tekućine koja se kreće brzinom $v$ i iste tekućine koja se kreće brzinom 1,5$v$. Koliki je omjer dinamičkog tlaka brže tekućine i dinamičkog tlaka sporije tekućine?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste riješili ovaj problem, trebate postaviti jednadžbe s varijablama. Neka $q_1$ bude dinamički tlak sporijeg fluida koji se giba brzinom $v_1$, a $q_2$ dinamički tlak bržeg fluida koji se kreće brzinom $v_2$. Zatim

$$v_2 =1,5v_1$$

S obzirom na jednadžbu $q = {1}/{2}nv^2$, zamjena dinamičkog tlaka i brzine bržeg fluida daje $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Budući da je $v_2 =1,5v_1$, izraz $1,5v_1$ može se zamijeniti s $v_2$ u ovoj jednadžbi, dajući $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Kvadriranjem $1,5$ prethodnu jednadžbu možete prepisati kao

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Stoga je omjer dinamičkog tlaka bržeg fluida

{q2}$/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Konačni odgovor je 2,25 ili 9/4.

Pitanje 15

Za polinom $p(x)$, vrijednost $p(3)$ je $-2$. Što od sljedećeg mora biti točno za $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor od $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor od $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor od $p(x)$.
D) Ostatak kada se $p(x)$ podijeli sa $x-3$ je $-2$.

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Ako se polinom $p(x)$ podijeli s polinomom oblika $x+k$ (koji uključuje sve moguće odgovore u ovom pitanju), rezultat se može napisati kao

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

gdje je $q(x)$ polinom, a $r$ ostatak. Budući da je $x + k$ polinom stupnja 1 (što znači da uključuje samo $x^1$ i ne sadrži više eksponente), ostatak je realan broj.

Stoga se $p(x)$ može prepisati kao $p(x) = (x + k)q(x) + r$, gdje je $r$ realan broj.

Pitanje kaže da je $p(3) = -2$, pa to mora biti točno

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Sada možemo uključiti sve moguće odgovore. Ako je odgovor A, B ili C, $r$ će biti $0$, a ako je odgovor D, $r$ će biti $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Ovo bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Ovo bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Ovo će uvijek biti istinit bez obzira što je $q(3)$.

Od ponuđenih odgovora, jedini koji mora vrijedi za $p(x)$ je D, da je ostatak kada se $p(x)$ podijeli sa $x-3$ -2.

Konačni odgovor je D.

Zaslužujete sav san nakon što prođete kroz ta pitanja.

Što je zajedničko najtežim SAT matematičkim pitanjima?

Važno je razumjeti što ova teška pitanja čini 'teškima'. Čineći to, moći ćete razumjeti i riješiti slična pitanja kada ih vidite na dan ispita, kao i imati bolju strategiju za prepoznavanje i ispravljanje vaših prethodnih matematičkih pogrešaka na SAT ispitu.

U ovom ćemo odjeljku pogledati što je zajedničko ovim pitanjima i dati primjere svake vrste. Neki od razloga zašto su najteža matematička pitanja najteža matematička pitanja jesu jer:

#1: Testirajte nekoliko matematičkih koncepata odjednom

Ovdje se moramo baviti imaginarnim brojevima i razlomcima odjednom.

Tajna uspjeha: Razmislite koju primjenjivu matematiku možete upotrijebiti za rješavanje problema, radite korak po korak i isprobavajte svaku tehniku ​​dok ne pronađete onu koja funkcionira!

#2: Uključite mnogo koraka

Upamtite: što više koraka morate poduzeti, lakše ćete zabrljati negdje duž linije!

Moramo riješiti ovaj problem u koracima (radeći nekoliko prosjeka) kako bismo otključali ostale odgovore domino efektom. To može biti zbunjujuće, osobito ako ste pod stresom ili vam ponestaje vremena.

Tajna uspjeha: Idite polako, idite korak po korak i još jednom provjerite svoj rad kako ne biste pogriješili!

#3: Testni koncepti s kojima ste ograničeno upoznati

Na primjer, mnogi učenici su manje upoznati s funkcijama nego s razlomcima i postocima, pa se većina pitanja o funkcijama smatra problemima 'visoke težine'.

Ako se ne snalazite u funkcijama, ovo bi bio težak problem.

Tajna uspjeha: Pregledajte matematičke koncepte s kojima niste toliko upoznati, poput funkcija. Predlažemo korištenje naših izvrsnih besplatnih vodiča za pregled SAT matematike.

#4: Izrečene su na neobičan ili zamršen način

Može biti teško shvatiti točno koja su neka pitanja tražeći , a još manje shvatiti kako ih riješiti. To je osobito istinito kada se pitanje nalazi na kraju odjeljka, a ponestaje vam vremena.

Budući da ovo pitanje pruža toliko informacija bez dijagrama, može biti teško riješiti ga u ograničenom dopuštenom vremenu.

Tajna uspjeha: Uzmite si vremena, analizirajte što se od vas traži i nacrtajte dijagram ako vam je od pomoći.

#5: Koristite mnogo različitih varijabli

Uz toliko različitih varijabli u igri, lako se zbuniti.

Tajna uspjeha: Uzmite si vremena, analizirajte što se od vas traži i razmislite je li uključivanje brojeva dobra strategija za rješavanje problema (ne bi bilo za gornje pitanje, ali bi bilo za mnoga druga varijabilna pitanja SAT-a).

Za ponijeti

SAT je maraton i što ste bolje pripremljeni za njega, bolje ćete se osjećati na dan ispita. Ako znate kako se nositi s najtežim pitanjima koja vam test može postaviti, polaganje pravog SAT ispita izgledat će mnogo manje zastrašujuće.

Ako smatrate da su ova pitanja laka, nemojte podcijeniti učinak adrenalina i umora na vašu sposobnost rješavanja problema. Dok nastavljate s učenjem, uvijek se pridržavajte točnih smjernica o vremenu i pokušajte polagati potpune testove kad god je to moguće. Ovo je najbolji način da ponovno stvorite stvarno okruženje za testiranje kako biste se mogli pripremiti za pravi posao.

Ako smatrate da su ova pitanja izazovna, svakako ojačajte svoje matematičko znanje provjeravajući naše pojedinačne vodiče za matematičke teme za SAT. Tamo ćete vidjeti detaljnija objašnjenja dotičnih tema kao i detaljnije raščlambe odgovora.

Što je sljedeće?

Smatrate li da su ova pitanja teža nego što ste očekivali? Pogledajte sve teme obrađene u odjeljku SAT matematika, a zatim zabilježite koji su vam dijelovi predstavljali posebnu poteškoću. Zatim, pogledajte naše pojedinačne matematičke vodiče koji će vam pomoći da poduprete bilo koje od tih slabih područja.

Ponestaje vam vremena za matematički dio SAT? Naš vodič će vam pomoći da nadmašite vrijeme i povećate svoj rezultat.

Ciljate na savršen rezultat? Provjeri naš vodič o tome kako postići savršenih 800 na SAT matematičkom dijelu , napisao perfektni strijelac.

Želite li se testirati s najtežim SAT matematičkim pitanjima? Želite li znati što ova pitanja čini tako teškima i kako ih najbolje riješiti? Ako ste spremni stvarno zariti zube u odjeljak SAT matematike i ciljati na taj savršeni rezultat, onda je ovo vodič za vas.

Sastavili smo ono što vjerujemo da jest 15 najtežih pitanja za trenutni SAT , sa strategijama i objašnjenjima odgovora za svaku. Ovo su sve teška SAT matematička pitanja iz SAT praktičnih testova College Boarda, što znači da je njihovo razumijevanje jedan od najboljih načina učenja za one od vas koji teže savršenstvu.

Slika: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kratak pregled SAT matematike

Treći i četvrti dio SAT-a uvijek će biti dijelovi iz matematike . Prvi matematički pododjeljak (označen s '3') radi ne omogućuju korištenje kalkulatora, dok drugi matematički pododjeljak (označen kao '4') radi dopustiti korištenje kalkulatora. Ipak, ne brinite previše o odjeljku bez kalkulatora: ako vam nije dopušteno koristiti kalkulator za pitanje, to znači da vam ne treba kalkulator da odgovorite na njega.

Svaki matematički pododjeljak raspoređen je prema rastućoj težini (pri čemu što je duže potrebno za rješavanje problema i što je manje ljudi koji na njega točno odgovore, to je teži). U svakom pododjeljku, pitanje 1 bit će 'lako', a pitanje 15 smatrat će se 'teškim'. Međutim, uzlazna težina resetira se s lake na tešku na grid-inovima.

Stoga su pitanja s višestrukim izborom raspoređena prema rastućoj težini (pitanja 1 i 2 bit će najlakša, pitanja 14 i 15 bit će najteža), ali se razina težine poništava za odjeljak u mreži (što znači da će pitanja 16 i 17 ponovno biti 'lako', a pitanja 19 i 20 bit će vrlo teška).

Uz vrlo malo izuzetaka, dakle, najteži matematički problemi SAT bit će grupirani na kraju segmenata s višestrukim izborom ili u drugoj polovici pitanja u mreži. Međutim, osim položaja na testu, ova pitanja dijele i nekoliko drugih zajedničkih karakteristika. Za minutu ćemo pogledati primjere pitanja i kako ih riješiti, zatim ćemo ih analizirati kako bismo shvatili što je zajedničko ovim vrstama pitanja.

Ali prvo: Trebate li se upravo sada usredotočiti na najteža matematička pitanja?

Ako ste tek počeli s pripremama za učenje (ili ako ste jednostavno preskočili ovaj prvi, ključni korak), svakako stanite i položite potpuni test vježbanja kako biste procijenili svoju trenutnu razinu bodovanja. Pogledajte naš vodič za svi besplatni SAT praktični testovi dostupni online a zatim sjednite da odjednom polažete test.

Apsolutno najbolji način da procijenite svoju trenutnu razinu je jednostavno pristupiti SAT testu kao da je stvaran, držeći se strogog vremena i radeći ravno uz samo dopuštene stanke (znamo—vjerojatno nije vaš omiljeni način da provedete subotu). Nakon što steknete dobru predodžbu o svojoj trenutnoj razini i postotnom poretku, možete postaviti prekretnice i ciljeve za svoj konačni rezultat SAT Math.

Ako trenutno postižete bodove u rasponu 200-400 ili 400-600 na SAT Math, najbolje je da prvo pogledate naš vodič za poboljšanje vašeg rezultata iz matematike stalno imati 600 ili više od 600 prije nego počnete pokušavati rješavati najteže matematičke probleme na testu.

Međutim, ako već imate više od 600 u odjeljku matematike i želite testirati svoju hrabrost za pravi SAT, onda svakako nastavite s ostatkom ovog vodiča. Ako težite savršenom (ili blizu) , tada ćete morati znati kako izgledaju najteža pitanja iz matematike SAT i kako ih riješiti. I srećom, to je upravo ono što ćemo učiniti.

UPOZORENJE: Budući da ih je ograničen broj službeni SAT praktični testovi , možda ćete htjeti pričekati s čitanjem ovog članka dok ne isprobate sva ili većinu od prva četiri službena probna testa (budući da je većina pitanja u nastavku preuzeta iz tih testova). Ako ste zabrinuti da ćete pokvariti te testove, prestanite sada čitati ovaj vodič; vratite se i pročitajte kada ih dovršite.

Sada idemo na naš popis pitanja (vau)!

Slika: Niytx /DeviantArt

15 najtežih SAT matematičkih pitanja

Sada kada ste sigurni da biste trebali pokušati odgovoriti na ova pitanja, krenimo odmah! U nastavku smo odabrali 15 najtežih pitanja iz SAT matematike koja možete isprobati, zajedno s uputama o tome kako doći do odgovora (ako ste zbunjeni).

Bez kalkulatora SAT matematičkih pitanja

Pitanje 1

$$C=5/9(F-32)$$

Gornja jednadžba pokazuje kako se temperatura $F$, mjerena u stupnjevima Fahrenheita, odnosi na temperaturu $C$, mjerenu u stupnjevima Celzijusa. Na temelju jednadžbe, što od sljedećeg mora biti točno?

1. Porast temperature od 1 stupanj Fahrenheita ekvivalentan je porastu temperature od $5/9$ stupnjeva Celzijusa.
2. Porast temperature od 1 stupnja Celzijusa je ekvivalentan porastu temperature od 1,8 stupnjeva Fahrenheita.
3. Porast temperature od $5/9$ stupnjeva Fahrenheita ekvivalentan je porastu temperature od 1 stupnja Celzija.

A) Samo ja
B) Samo II
C) Samo III
D) Samo I i II

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Zamislite jednadžbu kao jednadžbu za liniju

$$y=mx+b$$

gdje se u ovom slučaju

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

ili

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Možete vidjeti da je nagib grafikona ${5}/{9}$, što znači da je za povećanje od 1 stupanj Fahrenheita povećanje ${5}/{9}$ od 1 stupnja Celzijusa.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Dakle, tvrdnja I je istinita. To je jednako kao da je povećanje od 1 stupnja Celzijusa jednako povećanju od ${9}/{5}$ stupnjeva Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Budući da je ${9}/{5}$ = 1,8, izjava II je istinita.

Jedini odgovor koji ima i tvrdnju I i tvrdnju II kao istinite je D , ali ako imate vremena i želite biti potpuno temeljiti, također možete provjeriti je li tvrdnja III (povećanje od ${5}/{9}$ stupnja Fahrenheita jednako porastu temperature od 1 stupnja Celzijusa) točna :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (što je ≠ 1)$$

Povećanje od $5/9$ stupnjeva Fahrenheita dovodi do povećanja od ${25}/{81}$, a ne 1 stupanj Celzijusa, pa stoga izjava III nije točna.

Konačni odgovor je D.

pitanje 2

Jednadžba${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$vrijedi za sve vrijednosti $x≠2/a$, gdje je $a$ konstanta.

Kolika je vrijednost $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Postoje dva načina da se ovo pitanje riješi. Brži način je pomnožiti svaku stranu dane jednadžbe s $ax-2$ (tako da se možete riješiti razlomka). Kada svaku stranu pomnožite s $ax-2$, trebali biste imati:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Zatim biste trebali pomnožiti $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ koristeći FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Zatim smanjite desnu stranu jednadžbe

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Budući da koeficijenti $x^2$-člana moraju biti jednaki na obje strane jednadžbe, $−8a = 24$, ili $a = −3$.

Druga opcija koja je duža i zamornija jest pokušati uključiti sve odgovore za a i vidjeti koji odgovor čini obje strane jednadžbe jednakima. Opet, ovo je duža opcija i ne preporučujem je za stvarni SAT jer će izgubiti previše vremena.

Konačni odgovor je B.

pitanje 3

Ako je $3x-y = 12$, koja je vrijednost ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Vrijednost se ne može odrediti iz danih informacija.

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Jedan pristup je izraziti

$${8^x}/{2^y}$$

tako da su brojnik i nazivnik izraženi istom osnovom. Budući da su 2 i 8 potencije broja 2, zamjena $2^3$ za 8 u brojniku ${8^x}/{2^y}$ daje

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

koji se može prepisati

$${2^3x}/{2^y}$$

Budući da brojnik i nazivnik imaju zajedničku bazu, ovaj izraz se može prepisati kao $2^(3x−y)$. U pitanju stoji da je $3x − y = 12$, pa se može zamijeniti 12 za eksponent, $3x − y$, što znači da

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Konačni odgovor je A.

pitanje 4

Točke A i B leže na kružnici polumjera 1, a luk ${AB}↖⌢$ ima duljinu $π/3$. Koliki je dio opsega kruga duljina luka ${AB}↖⌢$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste saznali odgovor na ovo pitanje, prvo morate znati formulu za pronalaženje opsega kruga.

Opseg, $C$, kruga je $C = 2πr$, gdje je $r$ polumjer kruga. Za zadanu kružnicu polumjera 1, opseg je $C = 2(π)(1)$, ili $C = 2π$.

Da biste saznali koliki dio opsega iznosi duljina ${AB}↖⌢$, podijelite duljinu luka s opsegom, što daje $π/3 ÷ 2π$. Ovo dijeljenje može se predstaviti kao $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Razlomak $1/6$ također se može prepisati kao $0,166$ ili $0,167$.

Konačni odgovor je $1/6$, $0,166$ ili $0,167$.

pitanje 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Ako se gornji izraz prepiše u obliku $a+bi$, gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, koja je vrijednost $a$? (Napomena: $i=√{-1}$)

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste prepisali ${8-i}/{3-2i}$ u standardnom obliku $a + bi$, trebate pomnožiti brojnik i nazivnik ${8-i}/{3-2i}$ konjugatom , 3 $ + 2 i $. Ovo je jednako

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Budući da je $i^2=-1$, ovaj posljednji razlomak može se pojednostavljeno svesti na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

što dalje pojednostavljuje na $2 + i$. Stoga, kada se ${8-i}/{3-2i}$ prepiše u standardnom obliku a + bi, vrijednost a je 2.

Konačni odgovor je A.

Pitanje 6

U trokutu $ABC$ mjera $∠B$ je 90°, $BC=16$, a $AC$=20. Trokut $DEF$ sličan je trokutu $ABC$, gdje vrhovi $D$, $E$ i $F$ odgovaraju vrhovima $A$, $B$ i $C$, redom, a svaka stranica trokuta $ DEF$ je $1/3$ duljine odgovarajuće stranice trokuta $ABC$. Kolika je vrijednost $sinF$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Trokut ABC je pravokutni trokut s pravim kutom u B. Prema tome, $ov {AC}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta ABC, a $ov {AB}$ i $ov {BC}$ su katete pravokutni trokut ABC. Prema Pitagorinoj teoremi,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Budući da je trokut DEF sličan trokutu ABC, s vrhom F koji odgovara vrhu C, mjera $kuta ∠ {F}$ jednaka je mjeri $kuta ∠ {C}$. Prema tome, $sin F = sin C$. Iz duljina stranica trokuta ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hipotenuza}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Prema tome, $sinF ={3}/{5}$.

Konačni odgovor je ${3}/{5}$ ili 0,6.

SAT pitanja iz matematike dopuštena za kalkulator

Pitanje 7

Gornja nepotpuna tablica sažima broj ljevorukih učenika i dešnjaka prema spolu za učenike osmog razreda srednje škole Keisel. Dešnjaka je 5 puta više nego ljevorukih studentica, a dešnjaka je 9 puta više nego ljevorukih studenata. ako u školi ima ukupno 18 ljevorukih učenika i 122 dešnjaka, što je od sljedećeg najbliže vjerojatnosti da je nasumično odabrana dešnjak ženskog spola? (Napomena: pretpostavimo da nitko od učenika osmog razreda nije i dešnjak i ljevoruk.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Kako biste riješili ovaj problem, trebali biste izraditi dvije jednadžbe koristeći dvije varijable ($x$ i $y$) i informacije koje ste dobili. Neka $x$ bude broj ljevorukih studentica i neka $y$ bude broj ljevorukih studenata. Koristeći informacije dane u zadatku, broj dešnjaka bit će $5x$, a broj dešnjaka bit će $9y$. Budući da je ukupan broj ljevorukih učenika 18, a ukupan broj dešnjaka 122, sustav jednadžbi u nastavku mora biti točan:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Kada riješite ovaj sustav jednadžbi, dobit ćete $x = 10$ i $y = 8$. Dakle, 5*10, ili 50, od 122 desnorukih učenika su žene. Stoga je vjerojatnost da je nasumično odabrana desnoruka studentica ženskog spola ${50}/{122}$, što na najbližu tisućinku iznosi 0,410.

Konačni odgovor je A.

Pitanja 8 i 9

Koristite sljedeće informacije za pitanje 7 i pitanje 8.

Ako kupci ulaze u trgovinu s prosječnom stopom od $r$ kupaca po minuti i svaki ostaje u trgovini prosječno vrijeme od $T$ minuta, dan je prosječan broj kupaca u trgovini, $N$, u bilo kojem trenutku po formuli $N=rT$. Ovaj odnos je poznat kao Littleov zakon.

Vlasnik Good Deals Storea procjenjuje da tijekom radnog vremena u trgovinu uđu u prosjeku 3 kupca po minuti te da se svaki od njih u prosjeku zadrži 15 minuta. Vlasnik trgovine koristi Littleov zakon da procijeni da u trgovini ima 45 kupaca u svakom trenutku.

Pitanje 8

Littleov zakon može se primijeniti na bilo koji dio trgovine, kao što je određeni odjel ili redovi blagajne. Vlasnik trgovine utvrđuje da tijekom radnog vremena približno 84 kupca po satu obave kupovinu i svaki od tih kupaca provede u prosjeku 5 minuta u redu na blagajni. Otprilike koliko kupaca u bilo kojem trenutku tijekom radnog vremena u prosjeku čeka u redu za blagajnu da obavi kupnju u trgovini Good Deals Store?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da pitanje kaže da se Littleov zakon može primijeniti na bilo koji pojedinačni dio trgovine (na primjer, samo red na blagajni), tada je prosječan broj kupaca, $N$, u redu na blagajni u bilo kojem trenutku $N = rT $, gdje je $r$ broj kupaca koji ulaze u red na blagajni po minuti, a $T$ je prosječan broj minuta koje svaki kupac provede u redu na blagajni.

Budući da 84 kupca po satu obave kupovinu, 84 kupca po satu stane u red za blagajnu. Međutim, to treba pretvoriti u broj kupaca u minuti (kako bi se koristilo s $T = 5$). Budući da jedan sat ima 60 minuta, cijena je ${84 kupaca po sat}/{60 minuta} = 1,4$ kupaca po minuti. Korištenje dane formule s $r = 1,4$ i $T = 5$ donosi

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Stoga je prosječan broj kupaca, $N$, u redu za blagajnu u bilo koje vrijeme tijekom radnog vremena 7.

Konačni odgovor je 7.

pitanje 9

Vlasnik Good Deals Storea otvara novu trgovinu u cijelom gradu. Za novu trgovinu vlasnik procjenjuje da će tijekom radnog vremena prosječno 90 kupaca posatuđu u dućan i svaki od njih ostane u prosjeku 12 minuta. Prosječan broj kupaca u novoj trgovini u bilo kojem trenutku je koliko posto manji od prosječnog broja kupaca u izvornoj trgovini u bilo kojem trenutku? (Napomena: zanemarite simbol postotka kada upisujete svoj odgovor. Na primjer, ako je odgovor 42,1%, unesite 42,1)

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Prema danim izvornim informacijama, procijenjeni prosječni broj kupaca u izvornoj trgovini u bilo kojem trenutku (N) je 45. U pitanju se navodi da u novoj trgovini upravitelj procjenjuje da je u prosjeku 90 kupaca na sat (60 minuta) ući u trgovinu, što je ekvivalentno 1,5 kupca po minuti (r). Voditelj također procjenjuje da svaki kupac ostaje u trgovini prosječno 12 minuta (T). Dakle, prema Littleovom zakonu, u novoj trgovini u svakom trenutku u prosjeku ima $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupaca. Ovo je

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

posto manje od prosječnog broja kupaca u originalnoj trgovini u bilo kojem trenutku.

Konačni odgovor je 60.

pitanje 10

U $xy$-ravnini točka $(p,r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=x+b$, gdje je $b$ konstanta. Točka s koordinatama $(2p, 5r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=2x+b$. Ako je $p≠0$, koja je vrijednost $r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da točka $(p,r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=x+b$, točka mora zadovoljavati jednadžbu. Zamjenom $p$ s $x$ i $r$ s $y$ u jednadžbi $y=x+b$ dobiva se $r=p+b$, ili $i b$ = $i r-i p $.

Slično, budući da točka $(2p,5r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=2x+b$, točka mora zadovoljavati jednadžbu. Zamjenom $2p$ s $x$ i $5r$ s $y$ u jednadžbi $y=2x+b$ daje se:

$5r=2(2p)+b$

5$r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Zatim, možemo postaviti dvije jednadžbe jednake $b$ jednake jedna drugoj i pojednostaviti:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Konačno, da bismo pronašli $r/p$, moramo obje strane jednadžbe podijeliti s $p$ i s $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Točan odgovor je B , 3/4 dolara.

Ako ste odabrali opcije A i D, možda ste netočno oblikovali svoj odgovor od koeficijenata u točki $(2p, 5r)$. Ako ste odabrali Izbor C, možda ste pobrkali $r$ i $p$.

Imajte na umu da, iako je ovo u odjeljku za kalkulator SAT-a, apsolutno vam ne treba vaš kalkulator da biste ga riješili!

Pitanje 11

Silos za žitarice izgrađen je od dva desna kružna stošca i pravog kružnog cilindra s unutarnjim mjerama prikazanim gornjom slikom. Od sljedećeg, što je najbliže volumenu silosa za žito, u kubičnim stopama?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916.3
D) 1047.2

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Volumen silosa za žitarice može se pronaći zbrajanjem volumena svih krutih tvari od kojih se sastoji (cilindar i dva stošca). Silos se sastoji od cilindra (visine 10 stopa i polumjera baze 5 stopa) i dva stošca (svaki visine 5 stopa i radijusa baze 5 stopa). Formule navedene na početku odjeljka SAT Math:

Volumen stošca

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volumen cilindra

$$V=πr^2h$$

može se koristiti za određivanje ukupnog volumena silosa. Budući da dva stošca imaju identične dimenzije, ukupni volumen, u kubnim stopama, silosa je dan sa

$$V_{silos}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

što je približno jednako 1047,2 kubičnih stopa.

Konačni odgovor je D.

Pitanje 12

Ako je $x$ prosjek (aritmetička sredina) od $m$ i $9$, $y$ je prosjek od $2m$ i $15$, a $z$ je prosjek od $3m$ i $18$, koliko je prosjek $x$, $y$ i $z$ u smislu $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 milijuna dolara + 14 dolara
D) 3 milijuna USD + 21 USD

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da je prosjek (aritmetička sredina) dvaju brojeva jednak zbroju dvaju brojeva podijeljenom s 2, jednadžbe $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$su istiniti. Prosjek $x$, $y$ i $z$ dan je kao ${x + y + z}/{3}$. Zamjenom izraza u m za svaku varijablu ($x$, $y$, $z$) dobiva se

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ovaj se razlomak može pojednostaviti na $m + 7$.

Konačni odgovor je B.

Pitanje 13

Funkcija $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ prikazana je grafom u $xy$-ravnini iznad. Ako je $k$ konstanta takva da jednadžba $f(x)=k$ ima tri stvarna rješenja, koja bi od sljedećeg mogla biti vrijednost $k$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Jednadžba $f(x) = k$ daje rješenja sustava jednadžbi

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

i

$$y = k$$

Realno rješenje sustava dviju jednadžbi odgovara točki presjeka grafova dviju jednadžbi u $xy$-ravnini.

Graf od $y = k$ je vodoravna linija koja sadrži točku $(0, k)$ i siječe graf kubne jednadžbe tri puta (budući da ima tri realna rješenja). S obzirom na graf, jedina horizontalna linija koja bi tri puta presijecala kubičnu jednadžbu je linija s jednadžbom $y = −3$, odnosno $f(x) = −3$. Prema tome, $k$ je $-3$.

Konačni odgovor je D.

Pitanje 14

$$q={1/2}nv^2$$

Dinamički tlak $q$ koji stvara tekućina koja se kreće brzinom $v$ može se pronaći pomoću gornje formule, gdje je $n$ konstantna gustoća tekućine. Zrakoplovni inženjer koristi formulu za pronalaženje dinamičkog tlaka tekućine koja se kreće brzinom $v$ i iste tekućine koja se kreće brzinom 1,5$v$. Koliki je omjer dinamičkog tlaka brže tekućine i dinamičkog tlaka sporije tekućine?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste riješili ovaj problem, trebate postaviti jednadžbe s varijablama. Neka $q_1$ bude dinamički tlak sporijeg fluida koji se giba brzinom $v_1$, a $q_2$ dinamički tlak bržeg fluida koji se kreće brzinom $v_2$. Zatim

$$v_2 =1,5v_1$$

S obzirom na jednadžbu $q = {1}/{2}nv^2$, zamjena dinamičkog tlaka i brzine bržeg fluida daje $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Budući da je $v_2 =1,5v_1$, izraz $1,5v_1$ može se zamijeniti s $v_2$ u ovoj jednadžbi, dajući $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Kvadriranjem $1,5$ prethodnu jednadžbu možete prepisati kao

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Stoga je omjer dinamičkog tlaka bržeg fluida

{q2}$/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Konačni odgovor je 2,25 ili 9/4.

Pitanje 15

Za polinom $p(x)$, vrijednost $p(3)$ je $-2$. Što od sljedećeg mora biti točno za $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor od $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor od $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor od $p(x)$.
D) Ostatak kada se $p(x)$ podijeli sa $x-3$ je $-2$.

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Ako se polinom $p(x)$ podijeli s polinomom oblika $x+k$ (koji uključuje sve moguće odgovore u ovom pitanju), rezultat se može napisati kao

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

gdje je $q(x)$ polinom, a $r$ ostatak. Budući da je $x + k$ polinom stupnja 1 (što znači da uključuje samo $x^1$ i ne sadrži više eksponente), ostatak je realan broj.

Stoga se $p(x)$ može prepisati kao $p(x) = (x + k)q(x) + r$, gdje je $r$ realan broj.

Pitanje kaže da je $p(3) = -2$, pa to mora biti točno

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Sada možemo uključiti sve moguće odgovore. Ako je odgovor A, B ili C, $r$ će biti $0$, a ako je odgovor D, $r$ će biti $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Ovo bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Ovo bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Ovo će uvijek biti istinit bez obzira što je $q(3)$.

Od ponuđenih odgovora, jedini koji mora vrijedi za $p(x)$ je D, da je ostatak kada se $p(x)$ podijeli sa $x-3$ -2.

Konačni odgovor je D.

Zaslužujete sav san nakon što prođete kroz ta pitanja.

Što je zajedničko najtežim SAT matematičkim pitanjima?

Važno je razumjeti što ova teška pitanja čini 'teškima'. Čineći to, moći ćete razumjeti i riješiti slična pitanja kada ih vidite na dan ispita, kao i imati bolju strategiju za prepoznavanje i ispravljanje vaših prethodnih matematičkih pogrešaka na SAT ispitu.

U ovom ćemo odjeljku pogledati što je zajedničko ovim pitanjima i dati primjere svake vrste. Neki od razloga zašto su najteža matematička pitanja najteža matematička pitanja jesu jer:

#1: Testirajte nekoliko matematičkih koncepata odjednom

Ovdje se moramo baviti imaginarnim brojevima i razlomcima odjednom.

Tajna uspjeha: Razmislite koju primjenjivu matematiku možete upotrijebiti za rješavanje problema, radite korak po korak i isprobavajte svaku tehniku ​​dok ne pronađete onu koja funkcionira!

#2: Uključite mnogo koraka

Upamtite: što više koraka morate poduzeti, lakše ćete zabrljati negdje duž linije!

Moramo riješiti ovaj problem u koracima (radeći nekoliko prosjeka) kako bismo otključali ostale odgovore domino efektom. To može biti zbunjujuće, osobito ako ste pod stresom ili vam ponestaje vremena.

Tajna uspjeha: Idite polako, idite korak po korak i još jednom provjerite svoj rad kako ne biste pogriješili!

#3: Testni koncepti s kojima ste ograničeno upoznati

Na primjer, mnogi učenici su manje upoznati s funkcijama nego s razlomcima i postocima, pa se većina pitanja o funkcijama smatra problemima 'visoke težine'.

Ako se ne snalazite u funkcijama, ovo bi bio težak problem.

Tajna uspjeha: Pregledajte matematičke koncepte s kojima niste toliko upoznati, poput funkcija. Predlažemo korištenje naših izvrsnih besplatnih vodiča za pregled SAT matematike.

#4: Izrečene su na neobičan ili zamršen način

Može biti teško shvatiti točno koja su neka pitanja tražeći , a još manje shvatiti kako ih riješiti. To je osobito istinito kada se pitanje nalazi na kraju odjeljka, a ponestaje vam vremena.

Budući da ovo pitanje pruža toliko informacija bez dijagrama, može biti teško riješiti ga u ograničenom dopuštenom vremenu.

Tajna uspjeha: Uzmite si vremena, analizirajte što se od vas traži i nacrtajte dijagram ako vam je od pomoći.

#5: Koristite mnogo različitih varijabli

Uz toliko različitih varijabli u igri, lako se zbuniti.

Tajna uspjeha: Uzmite si vremena, analizirajte što se od vas traži i razmislite je li uključivanje brojeva dobra strategija za rješavanje problema (ne bi bilo za gornje pitanje, ali bi bilo za mnoga druga varijabilna pitanja SAT-a).

Za ponijeti

SAT je maraton i što ste bolje pripremljeni za njega, bolje ćete se osjećati na dan ispita. Ako znate kako se nositi s najtežim pitanjima koja vam test može postaviti, polaganje pravog SAT ispita izgledat će mnogo manje zastrašujuće.

Ako smatrate da su ova pitanja laka, nemojte podcijeniti učinak adrenalina i umora na vašu sposobnost rješavanja problema. Dok nastavljate s učenjem, uvijek se pridržavajte točnih smjernica o vremenu i pokušajte polagati potpune testove kad god je to moguće. Ovo je najbolji način da ponovno stvorite stvarno okruženje za testiranje kako biste se mogli pripremiti za pravi posao.

Ako smatrate da su ova pitanja izazovna, svakako ojačajte svoje matematičko znanje provjeravajući naše pojedinačne vodiče za matematičke teme za SAT. Tamo ćete vidjeti detaljnija objašnjenja dotičnih tema kao i detaljnije raščlambe odgovora.

Što je sljedeće?

Smatrate li da su ova pitanja teža nego što ste očekivali? Pogledajte sve teme obrađene u odjeljku SAT matematika, a zatim zabilježite koji su vam dijelovi predstavljali posebnu poteškoću. Zatim, pogledajte naše pojedinačne matematičke vodiče koji će vam pomoći da poduprete bilo koje od tih slabih područja.

Ponestaje vam vremena za matematički dio SAT? Naš vodič će vam pomoći da nadmašite vrijeme i povećate svoj rezultat.

Ciljate na savršen rezultat? Provjeri naš vodič o tome kako postići savršenih 800 na SAT matematičkom dijelu , napisao perfektni strijelac.

Konačni odgovor je /6$,

Želite li se testirati s najtežim SAT matematičkim pitanjima? Želite li znati što ova pitanja čini tako teškima i kako ih najbolje riješiti? Ako ste spremni stvarno zariti zube u odjeljak SAT matematike i ciljati na taj savršeni rezultat, onda je ovo vodič za vas.

Sastavili smo ono što vjerujemo da jest 15 najtežih pitanja za trenutni SAT , sa strategijama i objašnjenjima odgovora za svaku. Ovo su sve teška SAT matematička pitanja iz SAT praktičnih testova College Boarda, što znači da je njihovo razumijevanje jedan od najboljih načina učenja za one od vas koji teže savršenstvu.

Slika: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kratak pregled SAT matematike

Treći i četvrti dio SAT-a uvijek će biti dijelovi iz matematike . Prvi matematički pododjeljak (označen s '3') radi ne omogućuju korištenje kalkulatora, dok drugi matematički pododjeljak (označen kao '4') radi dopustiti korištenje kalkulatora. Ipak, ne brinite previše o odjeljku bez kalkulatora: ako vam nije dopušteno koristiti kalkulator za pitanje, to znači da vam ne treba kalkulator da odgovorite na njega.

Svaki matematički pododjeljak raspoređen je prema rastućoj težini (pri čemu što je duže potrebno za rješavanje problema i što je manje ljudi koji na njega točno odgovore, to je teži). U svakom pododjeljku, pitanje 1 bit će 'lako', a pitanje 15 smatrat će se 'teškim'. Međutim, uzlazna težina resetira se s lake na tešku na grid-inovima.

Stoga su pitanja s višestrukim izborom raspoređena prema rastućoj težini (pitanja 1 i 2 bit će najlakša, pitanja 14 i 15 bit će najteža), ali se razina težine poništava za odjeljak u mreži (što znači da će pitanja 16 i 17 ponovno biti 'lako', a pitanja 19 i 20 bit će vrlo teška).

Uz vrlo malo izuzetaka, dakle, najteži matematički problemi SAT bit će grupirani na kraju segmenata s višestrukim izborom ili u drugoj polovici pitanja u mreži. Međutim, osim položaja na testu, ova pitanja dijele i nekoliko drugih zajedničkih karakteristika. Za minutu ćemo pogledati primjere pitanja i kako ih riješiti, zatim ćemo ih analizirati kako bismo shvatili što je zajedničko ovim vrstama pitanja.

Ali prvo: Trebate li se upravo sada usredotočiti na najteža matematička pitanja?

Ako ste tek počeli s pripremama za učenje (ili ako ste jednostavno preskočili ovaj prvi, ključni korak), svakako stanite i položite potpuni test vježbanja kako biste procijenili svoju trenutnu razinu bodovanja. Pogledajte naš vodič za svi besplatni SAT praktični testovi dostupni online a zatim sjednite da odjednom polažete test.

Apsolutno najbolji način da procijenite svoju trenutnu razinu je jednostavno pristupiti SAT testu kao da je stvaran, držeći se strogog vremena i radeći ravno uz samo dopuštene stanke (znamo—vjerojatno nije vaš omiljeni način da provedete subotu). Nakon što steknete dobru predodžbu o svojoj trenutnoj razini i postotnom poretku, možete postaviti prekretnice i ciljeve za svoj konačni rezultat SAT Math.

Ako trenutno postižete bodove u rasponu 200-400 ili 400-600 na SAT Math, najbolje je da prvo pogledate naš vodič za poboljšanje vašeg rezultata iz matematike stalno imati 600 ili više od 600 prije nego počnete pokušavati rješavati najteže matematičke probleme na testu.

Međutim, ako već imate više od 600 u odjeljku matematike i želite testirati svoju hrabrost za pravi SAT, onda svakako nastavite s ostatkom ovog vodiča. Ako težite savršenom (ili blizu) , tada ćete morati znati kako izgledaju najteža pitanja iz matematike SAT i kako ih riješiti. I srećom, to je upravo ono što ćemo učiniti.

UPOZORENJE: Budući da ih je ograničen broj službeni SAT praktični testovi , možda ćete htjeti pričekati s čitanjem ovog članka dok ne isprobate sva ili većinu od prva četiri službena probna testa (budući da je većina pitanja u nastavku preuzeta iz tih testova). Ako ste zabrinuti da ćete pokvariti te testove, prestanite sada čitati ovaj vodič; vratite se i pročitajte kada ih dovršite.

Sada idemo na naš popis pitanja (vau)!

Slika: Niytx /DeviantArt

15 najtežih SAT matematičkih pitanja

Sada kada ste sigurni da biste trebali pokušati odgovoriti na ova pitanja, krenimo odmah! U nastavku smo odabrali 15 najtežih pitanja iz SAT matematike koja možete isprobati, zajedno s uputama o tome kako doći do odgovora (ako ste zbunjeni).

Bez kalkulatora SAT matematičkih pitanja

Pitanje 1

$$C=5/9(F-32)$$

Gornja jednadžba pokazuje kako se temperatura $F$, mjerena u stupnjevima Fahrenheita, odnosi na temperaturu $C$, mjerenu u stupnjevima Celzijusa. Na temelju jednadžbe, što od sljedećeg mora biti točno?

1. Porast temperature od 1 stupanj Fahrenheita ekvivalentan je porastu temperature od $5/9$ stupnjeva Celzijusa.
2. Porast temperature od 1 stupnja Celzijusa je ekvivalentan porastu temperature od 1,8 stupnjeva Fahrenheita.
3. Porast temperature od $5/9$ stupnjeva Fahrenheita ekvivalentan je porastu temperature od 1 stupnja Celzija.

A) Samo ja
B) Samo II
C) Samo III
D) Samo I i II

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Zamislite jednadžbu kao jednadžbu za liniju

$$y=mx+b$$

gdje se u ovom slučaju

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

ili

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Možete vidjeti da je nagib grafikona ${5}/{9}$, što znači da je za povećanje od 1 stupanj Fahrenheita povećanje ${5}/{9}$ od 1 stupnja Celzijusa.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Dakle, tvrdnja I je istinita. To je jednako kao da je povećanje od 1 stupnja Celzijusa jednako povećanju od ${9}/{5}$ stupnjeva Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Budući da je ${9}/{5}$ = 1,8, izjava II je istinita.

Jedini odgovor koji ima i tvrdnju I i tvrdnju II kao istinite je D , ali ako imate vremena i želite biti potpuno temeljiti, također možete provjeriti je li tvrdnja III (povećanje od ${5}/{9}$ stupnja Fahrenheita jednako porastu temperature od 1 stupnja Celzijusa) točna :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (što je ≠ 1)$$

Povećanje od $5/9$ stupnjeva Fahrenheita dovodi do povećanja od ${25}/{81}$, a ne 1 stupanj Celzijusa, pa stoga izjava III nije točna.

Konačni odgovor je D.

pitanje 2

Jednadžba${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$vrijedi za sve vrijednosti $x≠2/a$, gdje je $a$ konstanta.

Kolika je vrijednost $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Postoje dva načina da se ovo pitanje riješi. Brži način je pomnožiti svaku stranu dane jednadžbe s $ax-2$ (tako da se možete riješiti razlomka). Kada svaku stranu pomnožite s $ax-2$, trebali biste imati:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Zatim biste trebali pomnožiti $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ koristeći FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Zatim smanjite desnu stranu jednadžbe

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Budući da koeficijenti $x^2$-člana moraju biti jednaki na obje strane jednadžbe, $−8a = 24$, ili $a = −3$.

Druga opcija koja je duža i zamornija jest pokušati uključiti sve odgovore za a i vidjeti koji odgovor čini obje strane jednadžbe jednakima. Opet, ovo je duža opcija i ne preporučujem je za stvarni SAT jer će izgubiti previše vremena.

Konačni odgovor je B.

pitanje 3

Ako je $3x-y = 12$, koja je vrijednost ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Vrijednost se ne može odrediti iz danih informacija.

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Jedan pristup je izraziti

$${8^x}/{2^y}$$

tako da su brojnik i nazivnik izraženi istom osnovom. Budući da su 2 i 8 potencije broja 2, zamjena $2^3$ za 8 u brojniku ${8^x}/{2^y}$ daje

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

koji se može prepisati

$${2^3x}/{2^y}$$

Budući da brojnik i nazivnik imaju zajedničku bazu, ovaj izraz se može prepisati kao $2^(3x−y)$. U pitanju stoji da je $3x − y = 12$, pa se može zamijeniti 12 za eksponent, $3x − y$, što znači da

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Konačni odgovor je A.

pitanje 4

Točke A i B leže na kružnici polumjera 1, a luk ${AB}↖⌢$ ima duljinu $π/3$. Koliki je dio opsega kruga duljina luka ${AB}↖⌢$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste saznali odgovor na ovo pitanje, prvo morate znati formulu za pronalaženje opsega kruga.

Opseg, $C$, kruga je $C = 2πr$, gdje je $r$ polumjer kruga. Za zadanu kružnicu polumjera 1, opseg je $C = 2(π)(1)$, ili $C = 2π$.

Da biste saznali koliki dio opsega iznosi duljina ${AB}↖⌢$, podijelite duljinu luka s opsegom, što daje $π/3 ÷ 2π$. Ovo dijeljenje može se predstaviti kao $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Razlomak $1/6$ također se može prepisati kao $0,166$ ili $0,167$.

Konačni odgovor je $1/6$, $0,166$ ili $0,167$.

pitanje 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Ako se gornji izraz prepiše u obliku $a+bi$, gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, koja je vrijednost $a$? (Napomena: $i=√{-1}$)

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste prepisali ${8-i}/{3-2i}$ u standardnom obliku $a + bi$, trebate pomnožiti brojnik i nazivnik ${8-i}/{3-2i}$ konjugatom , 3 $ + 2 i $. Ovo je jednako

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Budući da je $i^2=-1$, ovaj posljednji razlomak može se pojednostavljeno svesti na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

što dalje pojednostavljuje na $2 + i$. Stoga, kada se ${8-i}/{3-2i}$ prepiše u standardnom obliku a + bi, vrijednost a je 2.

Konačni odgovor je A.

Pitanje 6

U trokutu $ABC$ mjera $∠B$ je 90°, $BC=16$, a $AC$=20. Trokut $DEF$ sličan je trokutu $ABC$, gdje vrhovi $D$, $E$ i $F$ odgovaraju vrhovima $A$, $B$ i $C$, redom, a svaka stranica trokuta $ DEF$ je $1/3$ duljine odgovarajuće stranice trokuta $ABC$. Kolika je vrijednost $sinF$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Trokut ABC je pravokutni trokut s pravim kutom u B. Prema tome, $ov {AC}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta ABC, a $ov {AB}$ i $ov {BC}$ su katete pravokutni trokut ABC. Prema Pitagorinoj teoremi,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Budući da je trokut DEF sličan trokutu ABC, s vrhom F koji odgovara vrhu C, mjera $kuta ∠ {F}$ jednaka je mjeri $kuta ∠ {C}$. Prema tome, $sin F = sin C$. Iz duljina stranica trokuta ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hipotenuza}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Prema tome, $sinF ={3}/{5}$.

Konačni odgovor je ${3}/{5}$ ili 0,6.

SAT pitanja iz matematike dopuštena za kalkulator

Pitanje 7

Gornja nepotpuna tablica sažima broj ljevorukih učenika i dešnjaka prema spolu za učenike osmog razreda srednje škole Keisel. Dešnjaka je 5 puta više nego ljevorukih studentica, a dešnjaka je 9 puta više nego ljevorukih studenata. ako u školi ima ukupno 18 ljevorukih učenika i 122 dešnjaka, što je od sljedećeg najbliže vjerojatnosti da je nasumično odabrana dešnjak ženskog spola? (Napomena: pretpostavimo da nitko od učenika osmog razreda nije i dešnjak i ljevoruk.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Kako biste riješili ovaj problem, trebali biste izraditi dvije jednadžbe koristeći dvije varijable ($x$ i $y$) i informacije koje ste dobili. Neka $x$ bude broj ljevorukih studentica i neka $y$ bude broj ljevorukih studenata. Koristeći informacije dane u zadatku, broj dešnjaka bit će $5x$, a broj dešnjaka bit će $9y$. Budući da je ukupan broj ljevorukih učenika 18, a ukupan broj dešnjaka 122, sustav jednadžbi u nastavku mora biti točan:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Kada riješite ovaj sustav jednadžbi, dobit ćete $x = 10$ i $y = 8$. Dakle, 5*10, ili 50, od 122 desnorukih učenika su žene. Stoga je vjerojatnost da je nasumično odabrana desnoruka studentica ženskog spola ${50}/{122}$, što na najbližu tisućinku iznosi 0,410.

Konačni odgovor je A.

Pitanja 8 i 9

Koristite sljedeće informacije za pitanje 7 i pitanje 8.

Ako kupci ulaze u trgovinu s prosječnom stopom od $r$ kupaca po minuti i svaki ostaje u trgovini prosječno vrijeme od $T$ minuta, dan je prosječan broj kupaca u trgovini, $N$, u bilo kojem trenutku po formuli $N=rT$. Ovaj odnos je poznat kao Littleov zakon.

Vlasnik Good Deals Storea procjenjuje da tijekom radnog vremena u trgovinu uđu u prosjeku 3 kupca po minuti te da se svaki od njih u prosjeku zadrži 15 minuta. Vlasnik trgovine koristi Littleov zakon da procijeni da u trgovini ima 45 kupaca u svakom trenutku.

Pitanje 8

Littleov zakon može se primijeniti na bilo koji dio trgovine, kao što je određeni odjel ili redovi blagajne. Vlasnik trgovine utvrđuje da tijekom radnog vremena približno 84 kupca po satu obave kupovinu i svaki od tih kupaca provede u prosjeku 5 minuta u redu na blagajni. Otprilike koliko kupaca u bilo kojem trenutku tijekom radnog vremena u prosjeku čeka u redu za blagajnu da obavi kupnju u trgovini Good Deals Store?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da pitanje kaže da se Littleov zakon može primijeniti na bilo koji pojedinačni dio trgovine (na primjer, samo red na blagajni), tada je prosječan broj kupaca, $N$, u redu na blagajni u bilo kojem trenutku $N = rT $, gdje je $r$ broj kupaca koji ulaze u red na blagajni po minuti, a $T$ je prosječan broj minuta koje svaki kupac provede u redu na blagajni.

Budući da 84 kupca po satu obave kupovinu, 84 kupca po satu stane u red za blagajnu. Međutim, to treba pretvoriti u broj kupaca u minuti (kako bi se koristilo s $T = 5$). Budući da jedan sat ima 60 minuta, cijena je ${84 kupaca po sat}/{60 minuta} = 1,4$ kupaca po minuti. Korištenje dane formule s $r = 1,4$ i $T = 5$ donosi

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Stoga je prosječan broj kupaca, $N$, u redu za blagajnu u bilo koje vrijeme tijekom radnog vremena 7.

Konačni odgovor je 7.

pitanje 9

Vlasnik Good Deals Storea otvara novu trgovinu u cijelom gradu. Za novu trgovinu vlasnik procjenjuje da će tijekom radnog vremena prosječno 90 kupaca posatuđu u dućan i svaki od njih ostane u prosjeku 12 minuta. Prosječan broj kupaca u novoj trgovini u bilo kojem trenutku je koliko posto manji od prosječnog broja kupaca u izvornoj trgovini u bilo kojem trenutku? (Napomena: zanemarite simbol postotka kada upisujete svoj odgovor. Na primjer, ako je odgovor 42,1%, unesite 42,1)

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Prema danim izvornim informacijama, procijenjeni prosječni broj kupaca u izvornoj trgovini u bilo kojem trenutku (N) je 45. U pitanju se navodi da u novoj trgovini upravitelj procjenjuje da je u prosjeku 90 kupaca na sat (60 minuta) ući u trgovinu, što je ekvivalentno 1,5 kupca po minuti (r). Voditelj također procjenjuje da svaki kupac ostaje u trgovini prosječno 12 minuta (T). Dakle, prema Littleovom zakonu, u novoj trgovini u svakom trenutku u prosjeku ima $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupaca. Ovo je

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

posto manje od prosječnog broja kupaca u originalnoj trgovini u bilo kojem trenutku.

Konačni odgovor je 60.

pitanje 10

U $xy$-ravnini točka $(p,r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=x+b$, gdje je $b$ konstanta. Točka s koordinatama $(2p, 5r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=2x+b$. Ako je $p≠0$, koja je vrijednost $r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da točka $(p,r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=x+b$, točka mora zadovoljavati jednadžbu. Zamjenom $p$ s $x$ i $r$ s $y$ u jednadžbi $y=x+b$ dobiva se $r=p+b$, ili $i b$ = $i r-i p $.

Slično, budući da točka $(2p,5r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=2x+b$, točka mora zadovoljavati jednadžbu. Zamjenom $2p$ s $x$ i $5r$ s $y$ u jednadžbi $y=2x+b$ daje se:

$5r=2(2p)+b$

5$r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Zatim, možemo postaviti dvije jednadžbe jednake $b$ jednake jedna drugoj i pojednostaviti:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Konačno, da bismo pronašli $r/p$, moramo obje strane jednadžbe podijeliti s $p$ i s $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Točan odgovor je B , 3/4 dolara.

Ako ste odabrali opcije A i D, možda ste netočno oblikovali svoj odgovor od koeficijenata u točki $(2p, 5r)$. Ako ste odabrali Izbor C, možda ste pobrkali $r$ i $p$.

Imajte na umu da, iako je ovo u odjeljku za kalkulator SAT-a, apsolutno vam ne treba vaš kalkulator da biste ga riješili!

Pitanje 11

Silos za žitarice izgrađen je od dva desna kružna stošca i pravog kružnog cilindra s unutarnjim mjerama prikazanim gornjom slikom. Od sljedećeg, što je najbliže volumenu silosa za žito, u kubičnim stopama?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916.3
D) 1047.2

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Volumen silosa za žitarice može se pronaći zbrajanjem volumena svih krutih tvari od kojih se sastoji (cilindar i dva stošca). Silos se sastoji od cilindra (visine 10 stopa i polumjera baze 5 stopa) i dva stošca (svaki visine 5 stopa i radijusa baze 5 stopa). Formule navedene na početku odjeljka SAT Math:

Volumen stošca

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volumen cilindra

$$V=πr^2h$$

može se koristiti za određivanje ukupnog volumena silosa. Budući da dva stošca imaju identične dimenzije, ukupni volumen, u kubnim stopama, silosa je dan sa

$$V_{silos}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

što je približno jednako 1047,2 kubičnih stopa.

Konačni odgovor je D.

Pitanje 12

Ako je $x$ prosjek (aritmetička sredina) od $m$ i $9$, $y$ je prosjek od $2m$ i $15$, a $z$ je prosjek od $3m$ i $18$, koliko je prosjek $x$, $y$ i $z$ u smislu $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 milijuna dolara + 14 dolara
D) 3 milijuna USD + 21 USD

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da je prosjek (aritmetička sredina) dvaju brojeva jednak zbroju dvaju brojeva podijeljenom s 2, jednadžbe $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$su istiniti. Prosjek $x$, $y$ i $z$ dan je kao ${x + y + z}/{3}$. Zamjenom izraza u m za svaku varijablu ($x$, $y$, $z$) dobiva se

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ovaj se razlomak može pojednostaviti na $m + 7$.

Konačni odgovor je B.

Pitanje 13

Funkcija $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ prikazana je grafom u $xy$-ravnini iznad. Ako je $k$ konstanta takva da jednadžba $f(x)=k$ ima tri stvarna rješenja, koja bi od sljedećeg mogla biti vrijednost $k$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Jednadžba $f(x) = k$ daje rješenja sustava jednadžbi

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

i

$$y = k$$

Realno rješenje sustava dviju jednadžbi odgovara točki presjeka grafova dviju jednadžbi u $xy$-ravnini.

Graf od $y = k$ je vodoravna linija koja sadrži točku $(0, k)$ i siječe graf kubne jednadžbe tri puta (budući da ima tri realna rješenja). S obzirom na graf, jedina horizontalna linija koja bi tri puta presijecala kubičnu jednadžbu je linija s jednadžbom $y = −3$, odnosno $f(x) = −3$. Prema tome, $k$ je $-3$.

Konačni odgovor je D.

Pitanje 14

$$q={1/2}nv^2$$

Dinamički tlak $q$ koji stvara tekućina koja se kreće brzinom $v$ može se pronaći pomoću gornje formule, gdje je $n$ konstantna gustoća tekućine. Zrakoplovni inženjer koristi formulu za pronalaženje dinamičkog tlaka tekućine koja se kreće brzinom $v$ i iste tekućine koja se kreće brzinom 1,5$v$. Koliki je omjer dinamičkog tlaka brže tekućine i dinamičkog tlaka sporije tekućine?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste riješili ovaj problem, trebate postaviti jednadžbe s varijablama. Neka $q_1$ bude dinamički tlak sporijeg fluida koji se giba brzinom $v_1$, a $q_2$ dinamički tlak bržeg fluida koji se kreće brzinom $v_2$. Zatim

$$v_2 =1,5v_1$$

S obzirom na jednadžbu $q = {1}/{2}nv^2$, zamjena dinamičkog tlaka i brzine bržeg fluida daje $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Budući da je $v_2 =1,5v_1$, izraz $1,5v_1$ može se zamijeniti s $v_2$ u ovoj jednadžbi, dajući $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Kvadriranjem $1,5$ prethodnu jednadžbu možete prepisati kao

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Stoga je omjer dinamičkog tlaka bržeg fluida

{q2}$/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Konačni odgovor je 2,25 ili 9/4.

Pitanje 15

Za polinom $p(x)$, vrijednost $p(3)$ je $-2$. Što od sljedećeg mora biti točno za $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor od $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor od $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor od $p(x)$.
D) Ostatak kada se $p(x)$ podijeli sa $x-3$ je $-2$.

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Ako se polinom $p(x)$ podijeli s polinomom oblika $x+k$ (koji uključuje sve moguće odgovore u ovom pitanju), rezultat se može napisati kao

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

gdje je $q(x)$ polinom, a $r$ ostatak. Budući da je $x + k$ polinom stupnja 1 (što znači da uključuje samo $x^1$ i ne sadrži više eksponente), ostatak je realan broj.

Stoga se $p(x)$ može prepisati kao $p(x) = (x + k)q(x) + r$, gdje je $r$ realan broj.

Pitanje kaže da je $p(3) = -2$, pa to mora biti točno

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Sada možemo uključiti sve moguće odgovore. Ako je odgovor A, B ili C, $r$ će biti $0$, a ako je odgovor D, $r$ će biti $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Ovo bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Ovo bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Ovo će uvijek biti istinit bez obzira što je $q(3)$.

Od ponuđenih odgovora, jedini koji mora vrijedi za $p(x)$ je D, da je ostatak kada se $p(x)$ podijeli sa $x-3$ -2.

Konačni odgovor je D.

Zaslužujete sav san nakon što prođete kroz ta pitanja.

Što je zajedničko najtežim SAT matematičkim pitanjima?

Važno je razumjeti što ova teška pitanja čini 'teškima'. Čineći to, moći ćete razumjeti i riješiti slična pitanja kada ih vidite na dan ispita, kao i imati bolju strategiju za prepoznavanje i ispravljanje vaših prethodnih matematičkih pogrešaka na SAT ispitu.

U ovom ćemo odjeljku pogledati što je zajedničko ovim pitanjima i dati primjere svake vrste. Neki od razloga zašto su najteža matematička pitanja najteža matematička pitanja jesu jer:

#1: Testirajte nekoliko matematičkih koncepata odjednom

Ovdje se moramo baviti imaginarnim brojevima i razlomcima odjednom.

Tajna uspjeha: Razmislite koju primjenjivu matematiku možete upotrijebiti za rješavanje problema, radite korak po korak i isprobavajte svaku tehniku ​​dok ne pronađete onu koja funkcionira!

#2: Uključite mnogo koraka

Upamtite: što više koraka morate poduzeti, lakše ćete zabrljati negdje duž linije!

Moramo riješiti ovaj problem u koracima (radeći nekoliko prosjeka) kako bismo otključali ostale odgovore domino efektom. To može biti zbunjujuće, osobito ako ste pod stresom ili vam ponestaje vremena.

Tajna uspjeha: Idite polako, idite korak po korak i još jednom provjerite svoj rad kako ne biste pogriješili!

#3: Testni koncepti s kojima ste ograničeno upoznati

Na primjer, mnogi učenici su manje upoznati s funkcijama nego s razlomcima i postocima, pa se većina pitanja o funkcijama smatra problemima 'visoke težine'.

Ako se ne snalazite u funkcijama, ovo bi bio težak problem.

Tajna uspjeha: Pregledajte matematičke koncepte s kojima niste toliko upoznati, poput funkcija. Predlažemo korištenje naših izvrsnih besplatnih vodiča za pregled SAT matematike.

#4: Izrečene su na neobičan ili zamršen način

Može biti teško shvatiti točno koja su neka pitanja tražeći , a još manje shvatiti kako ih riješiti. To je osobito istinito kada se pitanje nalazi na kraju odjeljka, a ponestaje vam vremena.

Budući da ovo pitanje pruža toliko informacija bez dijagrama, može biti teško riješiti ga u ograničenom dopuštenom vremenu.

Tajna uspjeha: Uzmite si vremena, analizirajte što se od vas traži i nacrtajte dijagram ako vam je od pomoći.

#5: Koristite mnogo različitih varijabli

Uz toliko različitih varijabli u igri, lako se zbuniti.

Tajna uspjeha: Uzmite si vremena, analizirajte što se od vas traži i razmislite je li uključivanje brojeva dobra strategija za rješavanje problema (ne bi bilo za gornje pitanje, ali bi bilo za mnoga druga varijabilna pitanja SAT-a).

Za ponijeti

SAT je maraton i što ste bolje pripremljeni za njega, bolje ćete se osjećati na dan ispita. Ako znate kako se nositi s najtežim pitanjima koja vam test može postaviti, polaganje pravog SAT ispita izgledat će mnogo manje zastrašujuće.

Ako smatrate da su ova pitanja laka, nemojte podcijeniti učinak adrenalina i umora na vašu sposobnost rješavanja problema. Dok nastavljate s učenjem, uvijek se pridržavajte točnih smjernica o vremenu i pokušajte polagati potpune testove kad god je to moguće. Ovo je najbolji način da ponovno stvorite stvarno okruženje za testiranje kako biste se mogli pripremiti za pravi posao.

Ako smatrate da su ova pitanja izazovna, svakako ojačajte svoje matematičko znanje provjeravajući naše pojedinačne vodiče za matematičke teme za SAT. Tamo ćete vidjeti detaljnija objašnjenja dotičnih tema kao i detaljnije raščlambe odgovora.

Što je sljedeće?

Smatrate li da su ova pitanja teža nego što ste očekivali? Pogledajte sve teme obrađene u odjeljku SAT matematika, a zatim zabilježite koji su vam dijelovi predstavljali posebnu poteškoću. Zatim, pogledajte naše pojedinačne matematičke vodiče koji će vam pomoći da poduprete bilo koje od tih slabih područja.

Ponestaje vam vremena za matematički dio SAT? Naš vodič će vam pomoći da nadmašite vrijeme i povećate svoj rezultat.

Ciljate na savršen rezultat? Provjeri naš vodič o tome kako postići savršenih 800 na SAT matematičkom dijelu , napisao perfektni strijelac.

Želite li se testirati s najtežim SAT matematičkim pitanjima? Želite li znati što ova pitanja čini tako teškima i kako ih najbolje riješiti? Ako ste spremni stvarno zariti zube u odjeljak SAT matematike i ciljati na taj savršeni rezultat, onda je ovo vodič za vas.

Sastavili smo ono što vjerujemo da jest 15 najtežih pitanja za trenutni SAT , sa strategijama i objašnjenjima odgovora za svaku. Ovo su sve teška SAT matematička pitanja iz SAT praktičnih testova College Boarda, što znači da je njihovo razumijevanje jedan od najboljih načina učenja za one od vas koji teže savršenstvu.

Slika: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kratak pregled SAT matematike

Treći i četvrti dio SAT-a uvijek će biti dijelovi iz matematike . Prvi matematički pododjeljak (označen s '3') radi ne omogućuju korištenje kalkulatora, dok drugi matematički pododjeljak (označen kao '4') radi dopustiti korištenje kalkulatora. Ipak, ne brinite previše o odjeljku bez kalkulatora: ako vam nije dopušteno koristiti kalkulator za pitanje, to znači da vam ne treba kalkulator da odgovorite na njega.

Svaki matematički pododjeljak raspoređen je prema rastućoj težini (pri čemu što je duže potrebno za rješavanje problema i što je manje ljudi koji na njega točno odgovore, to je teži). U svakom pododjeljku, pitanje 1 bit će 'lako', a pitanje 15 smatrat će se 'teškim'. Međutim, uzlazna težina resetira se s lake na tešku na grid-inovima.

Stoga su pitanja s višestrukim izborom raspoređena prema rastućoj težini (pitanja 1 i 2 bit će najlakša, pitanja 14 i 15 bit će najteža), ali se razina težine poništava za odjeljak u mreži (što znači da će pitanja 16 i 17 ponovno biti 'lako', a pitanja 19 i 20 bit će vrlo teška).

Uz vrlo malo izuzetaka, dakle, najteži matematički problemi SAT bit će grupirani na kraju segmenata s višestrukim izborom ili u drugoj polovici pitanja u mreži. Međutim, osim položaja na testu, ova pitanja dijele i nekoliko drugih zajedničkih karakteristika. Za minutu ćemo pogledati primjere pitanja i kako ih riješiti, zatim ćemo ih analizirati kako bismo shvatili što je zajedničko ovim vrstama pitanja.

Ali prvo: Trebate li se upravo sada usredotočiti na najteža matematička pitanja?

Ako ste tek počeli s pripremama za učenje (ili ako ste jednostavno preskočili ovaj prvi, ključni korak), svakako stanite i položite potpuni test vježbanja kako biste procijenili svoju trenutnu razinu bodovanja. Pogledajte naš vodič za svi besplatni SAT praktični testovi dostupni online a zatim sjednite da odjednom polažete test.

Apsolutno najbolji način da procijenite svoju trenutnu razinu je jednostavno pristupiti SAT testu kao da je stvaran, držeći se strogog vremena i radeći ravno uz samo dopuštene stanke (znamo—vjerojatno nije vaš omiljeni način da provedete subotu). Nakon što steknete dobru predodžbu o svojoj trenutnoj razini i postotnom poretku, možete postaviti prekretnice i ciljeve za svoj konačni rezultat SAT Math.

Ako trenutno postižete bodove u rasponu 200-400 ili 400-600 na SAT Math, najbolje je da prvo pogledate naš vodič za poboljšanje vašeg rezultata iz matematike stalno imati 600 ili više od 600 prije nego počnete pokušavati rješavati najteže matematičke probleme na testu.

Međutim, ako već imate više od 600 u odjeljku matematike i želite testirati svoju hrabrost za pravi SAT, onda svakako nastavite s ostatkom ovog vodiča. Ako težite savršenom (ili blizu) , tada ćete morati znati kako izgledaju najteža pitanja iz matematike SAT i kako ih riješiti. I srećom, to je upravo ono što ćemo učiniti.

UPOZORENJE: Budući da ih je ograničen broj službeni SAT praktični testovi , možda ćete htjeti pričekati s čitanjem ovog članka dok ne isprobate sva ili većinu od prva četiri službena probna testa (budući da je većina pitanja u nastavku preuzeta iz tih testova). Ako ste zabrinuti da ćete pokvariti te testove, prestanite sada čitati ovaj vodič; vratite se i pročitajte kada ih dovršite.

Sada idemo na naš popis pitanja (vau)!

Slika: Niytx /DeviantArt

15 najtežih SAT matematičkih pitanja

Sada kada ste sigurni da biste trebali pokušati odgovoriti na ova pitanja, krenimo odmah! U nastavku smo odabrali 15 najtežih pitanja iz SAT matematike koja možete isprobati, zajedno s uputama o tome kako doći do odgovora (ako ste zbunjeni).

Bez kalkulatora SAT matematičkih pitanja

Pitanje 1

$$C=5/9(F-32)$$

Gornja jednadžba pokazuje kako se temperatura $F$, mjerena u stupnjevima Fahrenheita, odnosi na temperaturu $C$, mjerenu u stupnjevima Celzijusa. Na temelju jednadžbe, što od sljedećeg mora biti točno?

1. Porast temperature od 1 stupanj Fahrenheita ekvivalentan je porastu temperature od $5/9$ stupnjeva Celzijusa.
2. Porast temperature od 1 stupnja Celzijusa je ekvivalentan porastu temperature od 1,8 stupnjeva Fahrenheita.
3. Porast temperature od $5/9$ stupnjeva Fahrenheita ekvivalentan je porastu temperature od 1 stupnja Celzija.

A) Samo ja
B) Samo II
C) Samo III
D) Samo I i II

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Zamislite jednadžbu kao jednadžbu za liniju

$$y=mx+b$$

gdje se u ovom slučaju

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

ili

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Možete vidjeti da je nagib grafikona ${5}/{9}$, što znači da je za povećanje od 1 stupanj Fahrenheita povećanje ${5}/{9}$ od 1 stupnja Celzijusa.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Dakle, tvrdnja I je istinita. To je jednako kao da je povećanje od 1 stupnja Celzijusa jednako povećanju od ${9}/{5}$ stupnjeva Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Budući da je ${9}/{5}$ = 1,8, izjava II je istinita.

Jedini odgovor koji ima i tvrdnju I i tvrdnju II kao istinite je D , ali ako imate vremena i želite biti potpuno temeljiti, također možete provjeriti je li tvrdnja III (povećanje od ${5}/{9}$ stupnja Fahrenheita jednako porastu temperature od 1 stupnja Celzijusa) točna :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (što je ≠ 1)$$

Povećanje od $5/9$ stupnjeva Fahrenheita dovodi do povećanja od ${25}/{81}$, a ne 1 stupanj Celzijusa, pa stoga izjava III nije točna.

Konačni odgovor je D.

pitanje 2

Jednadžba${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$vrijedi za sve vrijednosti $x≠2/a$, gdje je $a$ konstanta.

Kolika je vrijednost $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Postoje dva načina da se ovo pitanje riješi. Brži način je pomnožiti svaku stranu dane jednadžbe s $ax-2$ (tako da se možete riješiti razlomka). Kada svaku stranu pomnožite s $ax-2$, trebali biste imati:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Zatim biste trebali pomnožiti $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ koristeći FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Zatim smanjite desnu stranu jednadžbe

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Budući da koeficijenti $x^2$-člana moraju biti jednaki na obje strane jednadžbe, $−8a = 24$, ili $a = −3$.

Druga opcija koja je duža i zamornija jest pokušati uključiti sve odgovore za a i vidjeti koji odgovor čini obje strane jednadžbe jednakima. Opet, ovo je duža opcija i ne preporučujem je za stvarni SAT jer će izgubiti previše vremena.

Konačni odgovor je B.

pitanje 3

Ako je $3x-y = 12$, koja je vrijednost ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Vrijednost se ne može odrediti iz danih informacija.

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Jedan pristup je izraziti

$${8^x}/{2^y}$$

tako da su brojnik i nazivnik izraženi istom osnovom. Budući da su 2 i 8 potencije broja 2, zamjena $2^3$ za 8 u brojniku ${8^x}/{2^y}$ daje

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

koji se može prepisati

$${2^3x}/{2^y}$$

Budući da brojnik i nazivnik imaju zajedničku bazu, ovaj izraz se može prepisati kao $2^(3x−y)$. U pitanju stoji da je $3x − y = 12$, pa se može zamijeniti 12 za eksponent, $3x − y$, što znači da

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Konačni odgovor je A.

pitanje 4

Točke A i B leže na kružnici polumjera 1, a luk ${AB}↖⌢$ ima duljinu $π/3$. Koliki je dio opsega kruga duljina luka ${AB}↖⌢$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste saznali odgovor na ovo pitanje, prvo morate znati formulu za pronalaženje opsega kruga.

Opseg, $C$, kruga je $C = 2πr$, gdje je $r$ polumjer kruga. Za zadanu kružnicu polumjera 1, opseg je $C = 2(π)(1)$, ili $C = 2π$.

Da biste saznali koliki dio opsega iznosi duljina ${AB}↖⌢$, podijelite duljinu luka s opsegom, što daje $π/3 ÷ 2π$. Ovo dijeljenje može se predstaviti kao $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Razlomak $1/6$ također se može prepisati kao $0,166$ ili $0,167$.

Konačni odgovor je $1/6$, $0,166$ ili $0,167$.

pitanje 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Ako se gornji izraz prepiše u obliku $a+bi$, gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, koja je vrijednost $a$? (Napomena: $i=√{-1}$)

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste prepisali ${8-i}/{3-2i}$ u standardnom obliku $a + bi$, trebate pomnožiti brojnik i nazivnik ${8-i}/{3-2i}$ konjugatom , 3 $ + 2 i $. Ovo je jednako

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Budući da je $i^2=-1$, ovaj posljednji razlomak može se pojednostavljeno svesti na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

što dalje pojednostavljuje na $2 + i$. Stoga, kada se ${8-i}/{3-2i}$ prepiše u standardnom obliku a + bi, vrijednost a je 2.

Konačni odgovor je A.

Pitanje 6

U trokutu $ABC$ mjera $∠B$ je 90°, $BC=16$, a $AC$=20. Trokut $DEF$ sličan je trokutu $ABC$, gdje vrhovi $D$, $E$ i $F$ odgovaraju vrhovima $A$, $B$ i $C$, redom, a svaka stranica trokuta $ DEF$ je $1/3$ duljine odgovarajuće stranice trokuta $ABC$. Kolika je vrijednost $sinF$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Trokut ABC je pravokutni trokut s pravim kutom u B. Prema tome, $ov {AC}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta ABC, a $ov {AB}$ i $ov {BC}$ su katete pravokutni trokut ABC. Prema Pitagorinoj teoremi,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Budući da je trokut DEF sličan trokutu ABC, s vrhom F koji odgovara vrhu C, mjera $kuta ∠ {F}$ jednaka je mjeri $kuta ∠ {C}$. Prema tome, $sin F = sin C$. Iz duljina stranica trokuta ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hipotenuza}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Prema tome, $sinF ={3}/{5}$.

Konačni odgovor je ${3}/{5}$ ili 0,6.

SAT pitanja iz matematike dopuštena za kalkulator

Pitanje 7

Gornja nepotpuna tablica sažima broj ljevorukih učenika i dešnjaka prema spolu za učenike osmog razreda srednje škole Keisel. Dešnjaka je 5 puta više nego ljevorukih studentica, a dešnjaka je 9 puta više nego ljevorukih studenata. ako u školi ima ukupno 18 ljevorukih učenika i 122 dešnjaka, što je od sljedećeg najbliže vjerojatnosti da je nasumično odabrana dešnjak ženskog spola? (Napomena: pretpostavimo da nitko od učenika osmog razreda nije i dešnjak i ljevoruk.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Kako biste riješili ovaj problem, trebali biste izraditi dvije jednadžbe koristeći dvije varijable ($x$ i $y$) i informacije koje ste dobili. Neka $x$ bude broj ljevorukih studentica i neka $y$ bude broj ljevorukih studenata. Koristeći informacije dane u zadatku, broj dešnjaka bit će $5x$, a broj dešnjaka bit će $9y$. Budući da je ukupan broj ljevorukih učenika 18, a ukupan broj dešnjaka 122, sustav jednadžbi u nastavku mora biti točan:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Kada riješite ovaj sustav jednadžbi, dobit ćete $x = 10$ i $y = 8$. Dakle, 5*10, ili 50, od 122 desnorukih učenika su žene. Stoga je vjerojatnost da je nasumično odabrana desnoruka studentica ženskog spola ${50}/{122}$, što na najbližu tisućinku iznosi 0,410.

Konačni odgovor je A.

Pitanja 8 i 9

Koristite sljedeće informacije za pitanje 7 i pitanje 8.

Ako kupci ulaze u trgovinu s prosječnom stopom od $r$ kupaca po minuti i svaki ostaje u trgovini prosječno vrijeme od $T$ minuta, dan je prosječan broj kupaca u trgovini, $N$, u bilo kojem trenutku po formuli $N=rT$. Ovaj odnos je poznat kao Littleov zakon.

Vlasnik Good Deals Storea procjenjuje da tijekom radnog vremena u trgovinu uđu u prosjeku 3 kupca po minuti te da se svaki od njih u prosjeku zadrži 15 minuta. Vlasnik trgovine koristi Littleov zakon da procijeni da u trgovini ima 45 kupaca u svakom trenutku.

Pitanje 8

Littleov zakon može se primijeniti na bilo koji dio trgovine, kao što je određeni odjel ili redovi blagajne. Vlasnik trgovine utvrđuje da tijekom radnog vremena približno 84 kupca po satu obave kupovinu i svaki od tih kupaca provede u prosjeku 5 minuta u redu na blagajni. Otprilike koliko kupaca u bilo kojem trenutku tijekom radnog vremena u prosjeku čeka u redu za blagajnu da obavi kupnju u trgovini Good Deals Store?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da pitanje kaže da se Littleov zakon može primijeniti na bilo koji pojedinačni dio trgovine (na primjer, samo red na blagajni), tada je prosječan broj kupaca, $N$, u redu na blagajni u bilo kojem trenutku $N = rT $, gdje je $r$ broj kupaca koji ulaze u red na blagajni po minuti, a $T$ je prosječan broj minuta koje svaki kupac provede u redu na blagajni.

Budući da 84 kupca po satu obave kupovinu, 84 kupca po satu stane u red za blagajnu. Međutim, to treba pretvoriti u broj kupaca u minuti (kako bi se koristilo s $T = 5$). Budući da jedan sat ima 60 minuta, cijena je ${84 kupaca po sat}/{60 minuta} = 1,4$ kupaca po minuti. Korištenje dane formule s $r = 1,4$ i $T = 5$ donosi

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Stoga je prosječan broj kupaca, $N$, u redu za blagajnu u bilo koje vrijeme tijekom radnog vremena 7.

Konačni odgovor je 7.

pitanje 9

Vlasnik Good Deals Storea otvara novu trgovinu u cijelom gradu. Za novu trgovinu vlasnik procjenjuje da će tijekom radnog vremena prosječno 90 kupaca posatuđu u dućan i svaki od njih ostane u prosjeku 12 minuta. Prosječan broj kupaca u novoj trgovini u bilo kojem trenutku je koliko posto manji od prosječnog broja kupaca u izvornoj trgovini u bilo kojem trenutku? (Napomena: zanemarite simbol postotka kada upisujete svoj odgovor. Na primjer, ako je odgovor 42,1%, unesite 42,1)

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Prema danim izvornim informacijama, procijenjeni prosječni broj kupaca u izvornoj trgovini u bilo kojem trenutku (N) je 45. U pitanju se navodi da u novoj trgovini upravitelj procjenjuje da je u prosjeku 90 kupaca na sat (60 minuta) ući u trgovinu, što je ekvivalentno 1,5 kupca po minuti (r). Voditelj također procjenjuje da svaki kupac ostaje u trgovini prosječno 12 minuta (T). Dakle, prema Littleovom zakonu, u novoj trgovini u svakom trenutku u prosjeku ima $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupaca. Ovo je

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

posto manje od prosječnog broja kupaca u originalnoj trgovini u bilo kojem trenutku.

Konačni odgovor je 60.

pitanje 10

U $xy$-ravnini točka $(p,r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=x+b$, gdje je $b$ konstanta. Točka s koordinatama $(2p, 5r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=2x+b$. Ako je $p≠0$, koja je vrijednost $r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da točka $(p,r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=x+b$, točka mora zadovoljavati jednadžbu. Zamjenom $p$ s $x$ i $r$ s $y$ u jednadžbi $y=x+b$ dobiva se $r=p+b$, ili $i b$ = $i r-i p $.

Slično, budući da točka $(2p,5r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=2x+b$, točka mora zadovoljavati jednadžbu. Zamjenom $2p$ s $x$ i $5r$ s $y$ u jednadžbi $y=2x+b$ daje se:

$5r=2(2p)+b$

5$r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Zatim, možemo postaviti dvije jednadžbe jednake $b$ jednake jedna drugoj i pojednostaviti:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Konačno, da bismo pronašli $r/p$, moramo obje strane jednadžbe podijeliti s $p$ i s $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Točan odgovor je B , 3/4 dolara.

Ako ste odabrali opcije A i D, možda ste netočno oblikovali svoj odgovor od koeficijenata u točki $(2p, 5r)$. Ako ste odabrali Izbor C, možda ste pobrkali $r$ i $p$.

Imajte na umu da, iako je ovo u odjeljku za kalkulator SAT-a, apsolutno vam ne treba vaš kalkulator da biste ga riješili!

Pitanje 11

Silos za žitarice izgrađen je od dva desna kružna stošca i pravog kružnog cilindra s unutarnjim mjerama prikazanim gornjom slikom. Od sljedećeg, što je najbliže volumenu silosa za žito, u kubičnim stopama?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916.3
D) 1047.2

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Volumen silosa za žitarice može se pronaći zbrajanjem volumena svih krutih tvari od kojih se sastoji (cilindar i dva stošca). Silos se sastoji od cilindra (visine 10 stopa i polumjera baze 5 stopa) i dva stošca (svaki visine 5 stopa i radijusa baze 5 stopa). Formule navedene na početku odjeljka SAT Math:

Volumen stošca

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volumen cilindra

$$V=πr^2h$$

može se koristiti za određivanje ukupnog volumena silosa. Budući da dva stošca imaju identične dimenzije, ukupni volumen, u kubnim stopama, silosa je dan sa

$$V_{silos}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

što je približno jednako 1047,2 kubičnih stopa.

Konačni odgovor je D.

Pitanje 12

Ako je $x$ prosjek (aritmetička sredina) od $m$ i $9$, $y$ je prosjek od $2m$ i $15$, a $z$ je prosjek od $3m$ i $18$, koliko je prosjek $x$, $y$ i $z$ u smislu $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 milijuna dolara + 14 dolara
D) 3 milijuna USD + 21 USD

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da je prosjek (aritmetička sredina) dvaju brojeva jednak zbroju dvaju brojeva podijeljenom s 2, jednadžbe $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$su istiniti. Prosjek $x$, $y$ i $z$ dan je kao ${x + y + z}/{3}$. Zamjenom izraza u m za svaku varijablu ($x$, $y$, $z$) dobiva se

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ovaj se razlomak može pojednostaviti na $m + 7$.

Konačni odgovor je B.

Pitanje 13

Funkcija $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ prikazana je grafom u $xy$-ravnini iznad. Ako je $k$ konstanta takva da jednadžba $f(x)=k$ ima tri stvarna rješenja, koja bi od sljedećeg mogla biti vrijednost $k$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Jednadžba $f(x) = k$ daje rješenja sustava jednadžbi

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

i

$$y = k$$

Realno rješenje sustava dviju jednadžbi odgovara točki presjeka grafova dviju jednadžbi u $xy$-ravnini.

Graf od $y = k$ je vodoravna linija koja sadrži točku $(0, k)$ i siječe graf kubne jednadžbe tri puta (budući da ima tri realna rješenja). S obzirom na graf, jedina horizontalna linija koja bi tri puta presijecala kubičnu jednadžbu je linija s jednadžbom $y = −3$, odnosno $f(x) = −3$. Prema tome, $k$ je $-3$.

Konačni odgovor je D.

Pitanje 14

$$q={1/2}nv^2$$

Dinamički tlak $q$ koji stvara tekućina koja se kreće brzinom $v$ može se pronaći pomoću gornje formule, gdje je $n$ konstantna gustoća tekućine. Zrakoplovni inženjer koristi formulu za pronalaženje dinamičkog tlaka tekućine koja se kreće brzinom $v$ i iste tekućine koja se kreće brzinom 1,5$v$. Koliki je omjer dinamičkog tlaka brže tekućine i dinamičkog tlaka sporije tekućine?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste riješili ovaj problem, trebate postaviti jednadžbe s varijablama. Neka $q_1$ bude dinamički tlak sporijeg fluida koji se giba brzinom $v_1$, a $q_2$ dinamički tlak bržeg fluida koji se kreće brzinom $v_2$. Zatim

$$v_2 =1,5v_1$$

S obzirom na jednadžbu $q = {1}/{2}nv^2$, zamjena dinamičkog tlaka i brzine bržeg fluida daje $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Budući da je $v_2 =1,5v_1$, izraz $1,5v_1$ može se zamijeniti s $v_2$ u ovoj jednadžbi, dajući $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Kvadriranjem $1,5$ prethodnu jednadžbu možete prepisati kao

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Stoga je omjer dinamičkog tlaka bržeg fluida

{q2}$/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Konačni odgovor je 2,25 ili 9/4.

Pitanje 15

Za polinom $p(x)$, vrijednost $p(3)$ je $-2$. Što od sljedećeg mora biti točno za $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor od $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor od $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor od $p(x)$.
D) Ostatak kada se $p(x)$ podijeli sa $x-3$ je $-2$.

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Ako se polinom $p(x)$ podijeli s polinomom oblika $x+k$ (koji uključuje sve moguće odgovore u ovom pitanju), rezultat se može napisati kao

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

gdje je $q(x)$ polinom, a $r$ ostatak. Budući da je $x + k$ polinom stupnja 1 (što znači da uključuje samo $x^1$ i ne sadrži više eksponente), ostatak je realan broj.

Stoga se $p(x)$ može prepisati kao $p(x) = (x + k)q(x) + r$, gdje je $r$ realan broj.

Pitanje kaže da je $p(3) = -2$, pa to mora biti točno

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Sada možemo uključiti sve moguće odgovore. Ako je odgovor A, B ili C, $r$ će biti $0$, a ako je odgovor D, $r$ će biti $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Ovo bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Ovo bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Ovo će uvijek biti istinit bez obzira što je $q(3)$.

Od ponuđenih odgovora, jedini koji mora vrijedi za $p(x)$ je D, da je ostatak kada se $p(x)$ podijeli sa $x-3$ -2.

Konačni odgovor je D.

Zaslužujete sav san nakon što prođete kroz ta pitanja.

Što je zajedničko najtežim SAT matematičkim pitanjima?

Važno je razumjeti što ova teška pitanja čini 'teškima'. Čineći to, moći ćete razumjeti i riješiti slična pitanja kada ih vidite na dan ispita, kao i imati bolju strategiju za prepoznavanje i ispravljanje vaših prethodnih matematičkih pogrešaka na SAT ispitu.

U ovom ćemo odjeljku pogledati što je zajedničko ovim pitanjima i dati primjere svake vrste. Neki od razloga zašto su najteža matematička pitanja najteža matematička pitanja jesu jer:

#1: Testirajte nekoliko matematičkih koncepata odjednom

Ovdje se moramo baviti imaginarnim brojevima i razlomcima odjednom.

Tajna uspjeha: Razmislite koju primjenjivu matematiku možete upotrijebiti za rješavanje problema, radite korak po korak i isprobavajte svaku tehniku ​​dok ne pronađete onu koja funkcionira!

#2: Uključite mnogo koraka

Upamtite: što više koraka morate poduzeti, lakše ćete zabrljati negdje duž linije!

Moramo riješiti ovaj problem u koracima (radeći nekoliko prosjeka) kako bismo otključali ostale odgovore domino efektom. To može biti zbunjujuće, osobito ako ste pod stresom ili vam ponestaje vremena.

Tajna uspjeha: Idite polako, idite korak po korak i još jednom provjerite svoj rad kako ne biste pogriješili!

#3: Testni koncepti s kojima ste ograničeno upoznati

Na primjer, mnogi učenici su manje upoznati s funkcijama nego s razlomcima i postocima, pa se većina pitanja o funkcijama smatra problemima 'visoke težine'.

Ako se ne snalazite u funkcijama, ovo bi bio težak problem.

Tajna uspjeha: Pregledajte matematičke koncepte s kojima niste toliko upoznati, poput funkcija. Predlažemo korištenje naših izvrsnih besplatnih vodiča za pregled SAT matematike.

#4: Izrečene su na neobičan ili zamršen način

Može biti teško shvatiti točno koja su neka pitanja tražeći , a još manje shvatiti kako ih riješiti. To je osobito istinito kada se pitanje nalazi na kraju odjeljka, a ponestaje vam vremena.

Budući da ovo pitanje pruža toliko informacija bez dijagrama, može biti teško riješiti ga u ograničenom dopuštenom vremenu.

Tajna uspjeha: Uzmite si vremena, analizirajte što se od vas traži i nacrtajte dijagram ako vam je od pomoći.

#5: Koristite mnogo različitih varijabli

Uz toliko različitih varijabli u igri, lako se zbuniti.

Tajna uspjeha: Uzmite si vremena, analizirajte što se od vas traži i razmislite je li uključivanje brojeva dobra strategija za rješavanje problema (ne bi bilo za gornje pitanje, ali bi bilo za mnoga druga varijabilna pitanja SAT-a).

Za ponijeti

SAT je maraton i što ste bolje pripremljeni za njega, bolje ćete se osjećati na dan ispita. Ako znate kako se nositi s najtežim pitanjima koja vam test može postaviti, polaganje pravog SAT ispita izgledat će mnogo manje zastrašujuće.

Ako smatrate da su ova pitanja laka, nemojte podcijeniti učinak adrenalina i umora na vašu sposobnost rješavanja problema. Dok nastavljate s učenjem, uvijek se pridržavajte točnih smjernica o vremenu i pokušajte polagati potpune testove kad god je to moguće. Ovo je najbolji način da ponovno stvorite stvarno okruženje za testiranje kako biste se mogli pripremiti za pravi posao.

Ako smatrate da su ova pitanja izazovna, svakako ojačajte svoje matematičko znanje provjeravajući naše pojedinačne vodiče za matematičke teme za SAT. Tamo ćete vidjeti detaljnija objašnjenja dotičnih tema kao i detaljnije raščlambe odgovora.

Što je sljedeće?

Smatrate li da su ova pitanja teža nego što ste očekivali? Pogledajte sve teme obrađene u odjeljku SAT matematika, a zatim zabilježite koji su vam dijelovi predstavljali posebnu poteškoću. Zatim, pogledajte naše pojedinačne matematičke vodiče koji će vam pomoći da poduprete bilo koje od tih slabih područja.

Ponestaje vam vremena za matematički dio SAT? Naš vodič će vam pomoći da nadmašite vrijeme i povećate svoj rezultat.

Ciljate na savršen rezultat? Provjeri naš vodič o tome kako postići savršenih 800 na SAT matematičkom dijelu , napisao perfektni strijelac.

pitanje 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Ako se gornji izraz prepiše u obliku $a+bi$, gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, koja je vrijednost $a$? (Napomena: $i=√{-1}$)

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste prepisali ${8-i}/{3-2i}$ u standardnom obliku $a + bi$, trebate pomnožiti brojnik i nazivnik ${8-i}/{3-2i}$ konjugatom , 3 $ + 2 i $. Ovo je jednako

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Budući da je $i^2=-1$, ovaj posljednji razlomak može se pojednostavljeno svesti na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

što dalje pojednostavljuje na + i$. Stoga, kada se ${8-i}/{3-2i}$ prepiše u standardnom obliku a + bi, vrijednost a je 2.

Konačni odgovor je A.

Pitanje 6

U trokutu $ABC$ mjera $∠B$ je 90°, $BC=16$, a $AC$=20. Trokut $DEF$ sličan je trokutu $ABC$, gdje vrhovi $D$, $E$ i $F$ odgovaraju vrhovima $A$, $B$ i $C$, redom, a svaka stranica trokuta $ DEF$ je /3$ duljine odgovarajuće stranice trokuta $ABC$. Kolika je vrijednost $sinF$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Trokut ABC je pravokutni trokut s pravim kutom u B. Prema tome, $ov {AC}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta ABC, a $ov {AB}$ i $ov {BC}$ su katete pravokutni trokut ABC. Prema Pitagorinoj teoremi,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Budući da je trokut DEF sličan trokutu ABC, s vrhom F koji odgovara vrhu C, mjera $kuta ∠ {F}$ jednaka je mjeri $kuta ∠ {C}$. Prema tome, $sin F = sin C$. Iz duljina stranica trokuta ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hipotenuza}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Prema tome, $sinF ={3}/{5}$.

Konačni odgovor je /{5}$ ili 0,6.

SAT pitanja iz matematike dopuštena za kalkulator

Pitanje 7

Gornja nepotpuna tablica sažima broj ljevorukih učenika i dešnjaka prema spolu za učenike osmog razreda srednje škole Keisel. Dešnjaka je 5 puta više nego ljevorukih studentica, a dešnjaka je 9 puta više nego ljevorukih studenata. ako u školi ima ukupno 18 ljevorukih učenika i 122 dešnjaka, što je od sljedećeg najbliže vjerojatnosti da je nasumično odabrana dešnjak ženskog spola? (Napomena: pretpostavimo da nitko od učenika osmog razreda nije i dešnjak i ljevoruk.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Kako biste riješili ovaj problem, trebali biste izraditi dvije jednadžbe koristeći dvije varijable ($x$ i $y$) i informacije koje ste dobili. Neka $x$ bude broj ljevorukih studentica i neka $y$ bude broj ljevorukih studenata. Koristeći informacije dane u zadatku, broj dešnjaka bit će x$, a broj dešnjaka bit će y$. Budući da je ukupan broj ljevorukih učenika 18, a ukupan broj dešnjaka 122, sustav jednadžbi u nastavku mora biti točan:

$$x + y = 18$$

$x + 9y = 122$$

Kada riješite ovaj sustav jednadžbi, dobit ćete $x = 10$ i $y = 8$. Dakle, 5*10, ili 50, od 122 desnorukih učenika su žene. Stoga je vjerojatnost da je nasumično odabrana desnoruka studentica ženskog spola /{122}$, što na najbližu tisućinku iznosi 0,410.

Pitanja 8 i 9

Koristite sljedeće informacije za pitanje 7 i pitanje 8.

Ako kupci ulaze u trgovinu s prosječnom stopom od $r$ kupaca po minuti i svaki ostaje u trgovini prosječno vrijeme od $T$ minuta, dan je prosječan broj kupaca u trgovini, $N$, u bilo kojem trenutku po formuli $N=rT$. Ovaj odnos je poznat kao Littleov zakon.

Vlasnik Good Deals Storea procjenjuje da tijekom radnog vremena u trgovinu uđu u prosjeku 3 kupca po minuti te da se svaki od njih u prosjeku zadrži 15 minuta. Vlasnik trgovine koristi Littleov zakon da procijeni da u trgovini ima 45 kupaca u svakom trenutku.

Pitanje 8

Littleov zakon može se primijeniti na bilo koji dio trgovine, kao što je određeni odjel ili redovi blagajne. Vlasnik trgovine utvrđuje da tijekom radnog vremena približno 84 kupca po satu obave kupovinu i svaki od tih kupaca provede u prosjeku 5 minuta u redu na blagajni. Otprilike koliko kupaca u bilo kojem trenutku tijekom radnog vremena u prosjeku čeka u redu za blagajnu da obavi kupnju u trgovini Good Deals Store?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da pitanje kaže da se Littleov zakon može primijeniti na bilo koji pojedinačni dio trgovine (na primjer, samo red na blagajni), tada je prosječan broj kupaca, $N$, u redu na blagajni u bilo kojem trenutku $N = rT $, gdje je $r$ broj kupaca koji ulaze u red na blagajni po minuti, a $T$ je prosječan broj minuta koje svaki kupac provede u redu na blagajni.

Budući da 84 kupca po satu obave kupovinu, 84 kupca po satu stane u red za blagajnu. Međutim, to treba pretvoriti u broj kupaca u minuti (kako bi se koristilo s $T = 5$). Budući da jedan sat ima 60 minuta, cijena je ${84 kupaca po sat}/{60 minuta} = 1,4$ kupaca po minuti. Korištenje dane formule s $r = 1,4$ i $T = 5$ donosi

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Stoga je prosječan broj kupaca, $N$, u redu za blagajnu u bilo koje vrijeme tijekom radnog vremena 7.

Konačni odgovor je 7.

pitanje 9

Vlasnik Good Deals Storea otvara novu trgovinu u cijelom gradu. Za novu trgovinu vlasnik procjenjuje da će tijekom radnog vremena prosječno 90 kupaca posatuđu u dućan i svaki od njih ostane u prosjeku 12 minuta. Prosječan broj kupaca u novoj trgovini u bilo kojem trenutku je koliko posto manji od prosječnog broja kupaca u izvornoj trgovini u bilo kojem trenutku? (Napomena: zanemarite simbol postotka kada upisujete svoj odgovor. Na primjer, ako je odgovor 42,1%, unesite 42,1)

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Prema danim izvornim informacijama, procijenjeni prosječni broj kupaca u izvornoj trgovini u bilo kojem trenutku (N) je 45. U pitanju se navodi da u novoj trgovini upravitelj procjenjuje da je u prosjeku 90 kupaca na sat (60 minuta) ući u trgovinu, što je ekvivalentno 1,5 kupca po minuti (r). Voditelj također procjenjuje da svaki kupac ostaje u trgovini prosječno 12 minuta (T). Dakle, prema Littleovom zakonu, u novoj trgovini u svakom trenutku u prosjeku ima $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupaca. Ovo je

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

posto manje od prosječnog broja kupaca u originalnoj trgovini u bilo kojem trenutku.

Konačni odgovor je 60.

pitanje 10

U $xy$-ravnini točka $(p,r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=x+b$, gdje je $b$ konstanta. Točka s koordinatama $(2p, 5r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=2x+b$. Ako je $p≠0$, koja je vrijednost $r/p$?

A) /5$

B) /4$

C) /3$

D) /2$

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da točka $(p,r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=x+b$, točka mora zadovoljavati jednadžbu. Zamjenom $p$ s $x$ i $r$ s $y$ u jednadžbi $y=x+b$ dobiva se $r=p+b$, ili $i b$ = $i r-i p $.

Slično, budući da točka $(2p,5r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=2x+b$, točka mora zadovoljavati jednadžbu. Zamjenom p$ s $x$ i r$ s $y$ u jednadžbi $y=2x+b$ daje se:

r=2(2p)+b$

5$r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Zatim, možemo postaviti dvije jednadžbe jednake $b$ jednake jedna drugoj i pojednostaviti:

$b=r-p=5r-4p$

p=4r$

Konačno, da bismo pronašli $r/p$, moramo obje strane jednadžbe podijeliti s $p$ i s $:

p=4r$

={4r}/p$

/4=r/p$

Točan odgovor je B , 3/4 dolara.

Ako ste odabrali opcije A i D, možda ste netočno oblikovali svoj odgovor od koeficijenata u točki $(2p, 5r)$. Ako ste odabrali Izbor C, možda ste pobrkali $r$ i $p$.

Imajte na umu da, iako je ovo u odjeljku za kalkulator SAT-a, apsolutno vam ne treba vaš kalkulator da biste ga riješili!

Pitanje 11

Silos za žitarice izgrađen je od dva desna kružna stošca i pravog kružnog cilindra s unutarnjim mjerama prikazanim gornjom slikom. Od sljedećeg, što je najbliže volumenu silosa za žito, u kubičnim stopama?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916.3
D) 1047.2

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Volumen silosa za žitarice može se pronaći zbrajanjem volumena svih krutih tvari od kojih se sastoji (cilindar i dva stošca). Silos se sastoji od cilindra (visine 10 stopa i polumjera baze 5 stopa) i dva stošca (svaki visine 5 stopa i radijusa baze 5 stopa). Formule navedene na početku odjeljka SAT Math:

Volumen stošca

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volumen cilindra

$$V=πr^2h$$

može se koristiti za određivanje ukupnog volumena silosa. Budući da dva stošca imaju identične dimenzije, ukupni volumen, u kubnim stopama, silosa je dan sa

instalacija baklje

$$V_{silos}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

što je približno jednako 1047,2 kubičnih stopa.

Konačni odgovor je D.

Pitanje 12

Ako je $x$ prosjek (aritmetička sredina) od $m$ i $, $y$ je prosjek od m$ i $, a $z$ je prosjek od m$ i $, koliko je prosjek $x$, $y$ i $z$ u smislu $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 milijuna dolara + 14 dolara
D) 3 milijuna USD + 21 USD

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da je prosjek (aritmetička sredina) dvaju brojeva jednak zbroju dvaju brojeva podijeljenom s 2, jednadžbe $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$su istiniti. Prosjek $x$, $y$ i $z$ dan je kao ${x + y + z}/{3}$. Zamjenom izraza u m za svaku varijablu ($x$, $y$, $z$) dobiva se

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ovaj se razlomak može pojednostaviti na $m + 7$.

Konačni odgovor je B.

Pitanje 13

Funkcija $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ prikazana je grafom u $xy$-ravnini iznad. Ako je $k$ konstanta takva da jednadžba $f(x)=k$ ima tri stvarna rješenja, koja bi od sljedećeg mogla biti vrijednost $k$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Jednadžba $f(x) = k$ daje rješenja sustava jednadžbi

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

i

$$y = k$$

Realno rješenje sustava dviju jednadžbi odgovara točki presjeka grafova dviju jednadžbi u $xy$-ravnini.

Graf od $y = k$ je vodoravna linija koja sadrži točku $(0, k)$ i siječe graf kubne jednadžbe tri puta (budući da ima tri realna rješenja). S obzirom na graf, jedina horizontalna linija koja bi tri puta presijecala kubičnu jednadžbu je linija s jednadžbom $y = −3$, odnosno $f(x) = −3$. Prema tome, $k$ je $-3$.

Konačni odgovor je D.

Pitanje 14

$$q={1/2}nv^2$$

Dinamički tlak $q$ koji stvara tekućina koja se kreće brzinom $v$ može se pronaći pomoću gornje formule, gdje je $n$ konstantna gustoća tekućine. Zrakoplovni inženjer koristi formulu za pronalaženje dinamičkog tlaka tekućine koja se kreće brzinom $v$ i iste tekućine koja se kreće brzinom 1,5$v$. Koliki je omjer dinamičkog tlaka brže tekućine i dinamičkog tlaka sporije tekućine?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste riješili ovaj problem, trebate postaviti jednadžbe s varijablama. Neka $q_1$ bude dinamički tlak sporijeg fluida koji se giba brzinom $v_1$, a $q_2$ dinamički tlak bržeg fluida koji se kreće brzinom $v_2$. Zatim

$$v_2 =1,5v_1$$

S obzirom na jednadžbu $q = {1}/{2}nv^2$, zamjena dinamičkog tlaka i brzine bržeg fluida daje $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Budući da je $v_2 =1,5v_1$, izraz ,5v_1$ može se zamijeniti s $v_2$ u ovoj jednadžbi, dajući $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Kvadriranjem ,5$ prethodnu jednadžbu možete prepisati kao

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Stoga je omjer dinamičkog tlaka bržeg fluida

{q2}$/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Konačni odgovor je 2,25 ili 9/4.

Pitanje 15

Za polinom $p(x)$, vrijednost $p(3)$ je $-2$. Što od sljedećeg mora biti točno za $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor od $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor od $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor od $p(x)$.
D) Ostatak kada se $p(x)$ podijeli sa $x-3$ je $-2$.

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Ako se polinom $p(x)$ podijeli s polinomom oblika $x+k$ (koji uključuje sve moguće odgovore u ovom pitanju), rezultat se može napisati kao

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

gdje je $q(x)$ polinom, a $r$ ostatak. Budući da je $x + k$ polinom stupnja 1 (što znači da uključuje samo $x^1$ i ne sadrži više eksponente), ostatak je realan broj.

Stoga se $p(x)$ može prepisati kao $p(x) = (x + k)q(x) + r$, gdje je $r$ realan broj.

Pitanje kaže da je $p(3) = -2$, pa to mora biti točno

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Sada možemo uključiti sve moguće odgovore. Ako je odgovor A, B ili C, $r$ će biti

Želite li se testirati s najtežim SAT matematičkim pitanjima? Želite li znati što ova pitanja čini tako teškima i kako ih najbolje riješiti? Ako ste spremni stvarno zariti zube u odjeljak SAT matematike i ciljati na taj savršeni rezultat, onda je ovo vodič za vas.

Sastavili smo ono što vjerujemo da jest 15 najtežih pitanja za trenutni SAT , sa strategijama i objašnjenjima odgovora za svaku. Ovo su sve teška SAT matematička pitanja iz SAT praktičnih testova College Boarda, što znači da je njihovo razumijevanje jedan od najboljih načina učenja za one od vas koji teže savršenstvu.

Slika: Sonia Sevilla /Wikimedia

Kratak pregled SAT matematike

Treći i četvrti dio SAT-a uvijek će biti dijelovi iz matematike . Prvi matematički pododjeljak (označen s '3') radi ne omogućuju korištenje kalkulatora, dok drugi matematički pododjeljak (označen kao '4') radi dopustiti korištenje kalkulatora. Ipak, ne brinite previše o odjeljku bez kalkulatora: ako vam nije dopušteno koristiti kalkulator za pitanje, to znači da vam ne treba kalkulator da odgovorite na njega.

Svaki matematički pododjeljak raspoređen je prema rastućoj težini (pri čemu što je duže potrebno za rješavanje problema i što je manje ljudi koji na njega točno odgovore, to je teži). U svakom pododjeljku, pitanje 1 bit će 'lako', a pitanje 15 smatrat će se 'teškim'. Međutim, uzlazna težina resetira se s lake na tešku na grid-inovima.

Stoga su pitanja s višestrukim izborom raspoređena prema rastućoj težini (pitanja 1 i 2 bit će najlakša, pitanja 14 i 15 bit će najteža), ali se razina težine poništava za odjeljak u mreži (što znači da će pitanja 16 i 17 ponovno biti 'lako', a pitanja 19 i 20 bit će vrlo teška).

Uz vrlo malo izuzetaka, dakle, najteži matematički problemi SAT bit će grupirani na kraju segmenata s višestrukim izborom ili u drugoj polovici pitanja u mreži. Međutim, osim položaja na testu, ova pitanja dijele i nekoliko drugih zajedničkih karakteristika. Za minutu ćemo pogledati primjere pitanja i kako ih riješiti, zatim ćemo ih analizirati kako bismo shvatili što je zajedničko ovim vrstama pitanja.

Ali prvo: Trebate li se upravo sada usredotočiti na najteža matematička pitanja?

Ako ste tek počeli s pripremama za učenje (ili ako ste jednostavno preskočili ovaj prvi, ključni korak), svakako stanite i položite potpuni test vježbanja kako biste procijenili svoju trenutnu razinu bodovanja. Pogledajte naš vodič za svi besplatni SAT praktični testovi dostupni online a zatim sjednite da odjednom polažete test.

Apsolutno najbolji način da procijenite svoju trenutnu razinu je jednostavno pristupiti SAT testu kao da je stvaran, držeći se strogog vremena i radeći ravno uz samo dopuštene stanke (znamo—vjerojatno nije vaš omiljeni način da provedete subotu). Nakon što steknete dobru predodžbu o svojoj trenutnoj razini i postotnom poretku, možete postaviti prekretnice i ciljeve za svoj konačni rezultat SAT Math.

Ako trenutno postižete bodove u rasponu 200-400 ili 400-600 na SAT Math, najbolje je da prvo pogledate naš vodič za poboljšanje vašeg rezultata iz matematike stalno imati 600 ili više od 600 prije nego počnete pokušavati rješavati najteže matematičke probleme na testu.

Međutim, ako već imate više od 600 u odjeljku matematike i želite testirati svoju hrabrost za pravi SAT, onda svakako nastavite s ostatkom ovog vodiča. Ako težite savršenom (ili blizu) , tada ćete morati znati kako izgledaju najteža pitanja iz matematike SAT i kako ih riješiti. I srećom, to je upravo ono što ćemo učiniti.

UPOZORENJE: Budući da ih je ograničen broj službeni SAT praktični testovi , možda ćete htjeti pričekati s čitanjem ovog članka dok ne isprobate sva ili većinu od prva četiri službena probna testa (budući da je većina pitanja u nastavku preuzeta iz tih testova). Ako ste zabrinuti da ćete pokvariti te testove, prestanite sada čitati ovaj vodič; vratite se i pročitajte kada ih dovršite.

Sada idemo na naš popis pitanja (vau)!

Slika: Niytx /DeviantArt

15 najtežih SAT matematičkih pitanja

Sada kada ste sigurni da biste trebali pokušati odgovoriti na ova pitanja, krenimo odmah! U nastavku smo odabrali 15 najtežih pitanja iz SAT matematike koja možete isprobati, zajedno s uputama o tome kako doći do odgovora (ako ste zbunjeni).

Bez kalkulatora SAT matematičkih pitanja

Pitanje 1

$$C=5/9(F-32)$$

Gornja jednadžba pokazuje kako se temperatura $F$, mjerena u stupnjevima Fahrenheita, odnosi na temperaturu $C$, mjerenu u stupnjevima Celzijusa. Na temelju jednadžbe, što od sljedećeg mora biti točno?

1. Porast temperature od 1 stupanj Fahrenheita ekvivalentan je porastu temperature od $5/9$ stupnjeva Celzijusa.
2. Porast temperature od 1 stupnja Celzijusa je ekvivalentan porastu temperature od 1,8 stupnjeva Fahrenheita.
3. Porast temperature od $5/9$ stupnjeva Fahrenheita ekvivalentan je porastu temperature od 1 stupnja Celzija.

A) Samo ja
B) Samo II
C) Samo III
D) Samo I i II

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Zamislite jednadžbu kao jednadžbu za liniju

$$y=mx+b$$

gdje se u ovom slučaju

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

ili

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Možete vidjeti da je nagib grafikona ${5}/{9}$, što znači da je za povećanje od 1 stupanj Fahrenheita povećanje ${5}/{9}$ od 1 stupnja Celzijusa.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Dakle, tvrdnja I je istinita. To je jednako kao da je povećanje od 1 stupnja Celzijusa jednako povećanju od ${9}/{5}$ stupnjeva Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Budući da je ${9}/{5}$ = 1,8, izjava II je istinita.

Jedini odgovor koji ima i tvrdnju I i tvrdnju II kao istinite je D , ali ako imate vremena i želite biti potpuno temeljiti, također možete provjeriti je li tvrdnja III (povećanje od ${5}/{9}$ stupnja Fahrenheita jednako porastu temperature od 1 stupnja Celzijusa) točna :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (što je ≠ 1)$$

Povećanje od $5/9$ stupnjeva Fahrenheita dovodi do povećanja od ${25}/{81}$, a ne 1 stupanj Celzijusa, pa stoga izjava III nije točna.

Konačni odgovor je D.

pitanje 2

Jednadžba${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$vrijedi za sve vrijednosti $x≠2/a$, gdje je $a$ konstanta.

Kolika je vrijednost $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Postoje dva načina da se ovo pitanje riješi. Brži način je pomnožiti svaku stranu dane jednadžbe s $ax-2$ (tako da se možete riješiti razlomka). Kada svaku stranu pomnožite s $ax-2$, trebali biste imati:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Zatim biste trebali pomnožiti $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ koristeći FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Zatim smanjite desnu stranu jednadžbe

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Budući da koeficijenti $x^2$-člana moraju biti jednaki na obje strane jednadžbe, $−8a = 24$, ili $a = −3$.

Druga opcija koja je duža i zamornija jest pokušati uključiti sve odgovore za a i vidjeti koji odgovor čini obje strane jednadžbe jednakima. Opet, ovo je duža opcija i ne preporučujem je za stvarni SAT jer će izgubiti previše vremena.

Konačni odgovor je B.

pitanje 3

Ako je $3x-y = 12$, koja je vrijednost ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) $4^4$
C) $8^2$
D) Vrijednost se ne može odrediti iz danih informacija.

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Jedan pristup je izraziti

$${8^x}/{2^y}$$

tako da su brojnik i nazivnik izraženi istom osnovom. Budući da su 2 i 8 potencije broja 2, zamjena $2^3$ za 8 u brojniku ${8^x}/{2^y}$ daje

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

koji se može prepisati

$${2^3x}/{2^y}$$

Budući da brojnik i nazivnik imaju zajedničku bazu, ovaj izraz se može prepisati kao $2^(3x−y)$. U pitanju stoji da je $3x − y = 12$, pa se može zamijeniti 12 za eksponent, $3x − y$, što znači da

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Konačni odgovor je A.

pitanje 4

Točke A i B leže na kružnici polumjera 1, a luk ${AB}↖⌢$ ima duljinu $π/3$. Koliki je dio opsega kruga duljina luka ${AB}↖⌢$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste saznali odgovor na ovo pitanje, prvo morate znati formulu za pronalaženje opsega kruga.

Opseg, $C$, kruga je $C = 2πr$, gdje je $r$ polumjer kruga. Za zadanu kružnicu polumjera 1, opseg je $C = 2(π)(1)$, ili $C = 2π$.

Da biste saznali koliki dio opsega iznosi duljina ${AB}↖⌢$, podijelite duljinu luka s opsegom, što daje $π/3 ÷ 2π$. Ovo dijeljenje može se predstaviti kao $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Razlomak $1/6$ također se može prepisati kao $0,166$ ili $0,167$.

Konačni odgovor je $1/6$, $0,166$ ili $0,167$.

pitanje 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Ako se gornji izraz prepiše u obliku $a+bi$, gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, koja je vrijednost $a$? (Napomena: $i=√{-1}$)

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste prepisali ${8-i}/{3-2i}$ u standardnom obliku $a + bi$, trebate pomnožiti brojnik i nazivnik ${8-i}/{3-2i}$ konjugatom , 3 $ + 2 i $. Ovo je jednako

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Budući da je $i^2=-1$, ovaj posljednji razlomak može se pojednostavljeno svesti na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

što dalje pojednostavljuje na $2 + i$. Stoga, kada se ${8-i}/{3-2i}$ prepiše u standardnom obliku a + bi, vrijednost a je 2.

Konačni odgovor je A.

Pitanje 6

U trokutu $ABC$ mjera $∠B$ je 90°, $BC=16$, a $AC$=20. Trokut $DEF$ sličan je trokutu $ABC$, gdje vrhovi $D$, $E$ i $F$ odgovaraju vrhovima $A$, $B$ i $C$, redom, a svaka stranica trokuta $ DEF$ je $1/3$ duljine odgovarajuće stranice trokuta $ABC$. Kolika je vrijednost $sinF$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Trokut ABC je pravokutni trokut s pravim kutom u B. Prema tome, $ov {AC}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta ABC, a $ov {AB}$ i $ov {BC}$ su katete pravokutni trokut ABC. Prema Pitagorinoj teoremi,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Budući da je trokut DEF sličan trokutu ABC, s vrhom F koji odgovara vrhu C, mjera $kuta ∠ {F}$ jednaka je mjeri $kuta ∠ {C}$. Prema tome, $sin F = sin C$. Iz duljina stranica trokuta ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hipotenuza}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Prema tome, $sinF ={3}/{5}$.

Konačni odgovor je ${3}/{5}$ ili 0,6.

SAT pitanja iz matematike dopuštena za kalkulator

Pitanje 7

Gornja nepotpuna tablica sažima broj ljevorukih učenika i dešnjaka prema spolu za učenike osmog razreda srednje škole Keisel. Dešnjaka je 5 puta više nego ljevorukih studentica, a dešnjaka je 9 puta više nego ljevorukih studenata. ako u školi ima ukupno 18 ljevorukih učenika i 122 dešnjaka, što je od sljedećeg najbliže vjerojatnosti da je nasumično odabrana dešnjak ženskog spola? (Napomena: pretpostavimo da nitko od učenika osmog razreda nije i dešnjak i ljevoruk.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Kako biste riješili ovaj problem, trebali biste izraditi dvije jednadžbe koristeći dvije varijable ($x$ i $y$) i informacije koje ste dobili. Neka $x$ bude broj ljevorukih studentica i neka $y$ bude broj ljevorukih studenata. Koristeći informacije dane u zadatku, broj dešnjaka bit će $5x$, a broj dešnjaka bit će $9y$. Budući da je ukupan broj ljevorukih učenika 18, a ukupan broj dešnjaka 122, sustav jednadžbi u nastavku mora biti točan:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Kada riješite ovaj sustav jednadžbi, dobit ćete $x = 10$ i $y = 8$. Dakle, 5*10, ili 50, od 122 desnorukih učenika su žene. Stoga je vjerojatnost da je nasumično odabrana desnoruka studentica ženskog spola ${50}/{122}$, što na najbližu tisućinku iznosi 0,410.

Konačni odgovor je A.

Pitanja 8 i 9

Koristite sljedeće informacije za pitanje 7 i pitanje 8.

Ako kupci ulaze u trgovinu s prosječnom stopom od $r$ kupaca po minuti i svaki ostaje u trgovini prosječno vrijeme od $T$ minuta, dan je prosječan broj kupaca u trgovini, $N$, u bilo kojem trenutku po formuli $N=rT$. Ovaj odnos je poznat kao Littleov zakon.

Vlasnik Good Deals Storea procjenjuje da tijekom radnog vremena u trgovinu uđu u prosjeku 3 kupca po minuti te da se svaki od njih u prosjeku zadrži 15 minuta. Vlasnik trgovine koristi Littleov zakon da procijeni da u trgovini ima 45 kupaca u svakom trenutku.

Pitanje 8

Littleov zakon može se primijeniti na bilo koji dio trgovine, kao što je određeni odjel ili redovi blagajne. Vlasnik trgovine utvrđuje da tijekom radnog vremena približno 84 kupca po satu obave kupovinu i svaki od tih kupaca provede u prosjeku 5 minuta u redu na blagajni. Otprilike koliko kupaca u bilo kojem trenutku tijekom radnog vremena u prosjeku čeka u redu za blagajnu da obavi kupnju u trgovini Good Deals Store?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da pitanje kaže da se Littleov zakon može primijeniti na bilo koji pojedinačni dio trgovine (na primjer, samo red na blagajni), tada je prosječan broj kupaca, $N$, u redu na blagajni u bilo kojem trenutku $N = rT $, gdje je $r$ broj kupaca koji ulaze u red na blagajni po minuti, a $T$ je prosječan broj minuta koje svaki kupac provede u redu na blagajni.

Budući da 84 kupca po satu obave kupovinu, 84 kupca po satu stane u red za blagajnu. Međutim, to treba pretvoriti u broj kupaca u minuti (kako bi se koristilo s $T = 5$). Budući da jedan sat ima 60 minuta, cijena je ${84 kupaca po sat}/{60 minuta} = 1,4$ kupaca po minuti. Korištenje dane formule s $r = 1,4$ i $T = 5$ donosi

$$N = rt = (1.4)(5) = 7$$

Stoga je prosječan broj kupaca, $N$, u redu za blagajnu u bilo koje vrijeme tijekom radnog vremena 7.

Konačni odgovor je 7.

pitanje 9

Vlasnik Good Deals Storea otvara novu trgovinu u cijelom gradu. Za novu trgovinu vlasnik procjenjuje da će tijekom radnog vremena prosječno 90 kupaca posatuđu u dućan i svaki od njih ostane u prosjeku 12 minuta. Prosječan broj kupaca u novoj trgovini u bilo kojem trenutku je koliko posto manji od prosječnog broja kupaca u izvornoj trgovini u bilo kojem trenutku? (Napomena: zanemarite simbol postotka kada upisujete svoj odgovor. Na primjer, ako je odgovor 42,1%, unesite 42,1)

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Prema danim izvornim informacijama, procijenjeni prosječni broj kupaca u izvornoj trgovini u bilo kojem trenutku (N) je 45. U pitanju se navodi da u novoj trgovini upravitelj procjenjuje da je u prosjeku 90 kupaca na sat (60 minuta) ući u trgovinu, što je ekvivalentno 1,5 kupca po minuti (r). Voditelj također procjenjuje da svaki kupac ostaje u trgovini prosječno 12 minuta (T). Dakle, prema Littleovom zakonu, u novoj trgovini u svakom trenutku u prosjeku ima $N = rT = (1,5)(12) = 18$ kupaca. Ovo je

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

posto manje od prosječnog broja kupaca u originalnoj trgovini u bilo kojem trenutku.

Konačni odgovor je 60.

pitanje 10

U $xy$-ravnini točka $(p,r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=x+b$, gdje je $b$ konstanta. Točka s koordinatama $(2p, 5r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=2x+b$. Ako je $p≠0$, koja je vrijednost $r/p$?

A) $2/5$

B) $3/4$

C) $4/3$

D) $5/2$

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da točka $(p,r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=x+b$, točka mora zadovoljavati jednadžbu. Zamjenom $p$ s $x$ i $r$ s $y$ u jednadžbi $y=x+b$ dobiva se $r=p+b$, ili $i b$ = $i r-i p $.

Slično, budući da točka $(2p,5r)$ leži na pravcu s jednadžbom $y=2x+b$, točka mora zadovoljavati jednadžbu. Zamjenom $2p$ s $x$ i $5r$ s $y$ u jednadžbi $y=2x+b$ daje se:

$5r=2(2p)+b$

5$r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Zatim, možemo postaviti dvije jednadžbe jednake $b$ jednake jedna drugoj i pojednostaviti:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Konačno, da bismo pronašli $r/p$, moramo obje strane jednadžbe podijeliti s $p$ i s $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

Točan odgovor je B , 3/4 dolara.

Ako ste odabrali opcije A i D, možda ste netočno oblikovali svoj odgovor od koeficijenata u točki $(2p, 5r)$. Ako ste odabrali Izbor C, možda ste pobrkali $r$ i $p$.

Imajte na umu da, iako je ovo u odjeljku za kalkulator SAT-a, apsolutno vam ne treba vaš kalkulator da biste ga riješili!

Pitanje 11

Silos za žitarice izgrađen je od dva desna kružna stošca i pravog kružnog cilindra s unutarnjim mjerama prikazanim gornjom slikom. Od sljedećeg, što je najbliže volumenu silosa za žito, u kubičnim stopama?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916.3
D) 1047.2

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Volumen silosa za žitarice može se pronaći zbrajanjem volumena svih krutih tvari od kojih se sastoji (cilindar i dva stošca). Silos se sastoji od cilindra (visine 10 stopa i polumjera baze 5 stopa) i dva stošca (svaki visine 5 stopa i radijusa baze 5 stopa). Formule navedene na početku odjeljka SAT Math:

Volumen stošca

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volumen cilindra

$$V=πr^2h$$

može se koristiti za određivanje ukupnog volumena silosa. Budući da dva stošca imaju identične dimenzije, ukupni volumen, u kubnim stopama, silosa je dan sa

$$V_{silos}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

što je približno jednako 1047,2 kubičnih stopa.

Konačni odgovor je D.

Pitanje 12

Ako je $x$ prosjek (aritmetička sredina) od $m$ i $9$, $y$ je prosjek od $2m$ i $15$, a $z$ je prosjek od $3m$ i $18$, koliko je prosjek $x$, $y$ i $z$ u smislu $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 milijuna dolara + 14 dolara
D) 3 milijuna USD + 21 USD

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Budući da je prosjek (aritmetička sredina) dvaju brojeva jednak zbroju dvaju brojeva podijeljenom s 2, jednadžbe $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$su istiniti. Prosjek $x$, $y$ i $z$ dan je kao ${x + y + z}/{3}$. Zamjenom izraza u m za svaku varijablu ($x$, $y$, $z$) dobiva se

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ovaj se razlomak može pojednostaviti na $m + 7$.

Konačni odgovor je B.

Pitanje 13

Funkcija $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ prikazana je grafom u $xy$-ravnini iznad. Ako je $k$ konstanta takva da jednadžba $f(x)=k$ ima tri stvarna rješenja, koja bi od sljedećeg mogla biti vrijednost $k$?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Jednadžba $f(x) = k$ daje rješenja sustava jednadžbi

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

i

$$y = k$$

Realno rješenje sustava dviju jednadžbi odgovara točki presjeka grafova dviju jednadžbi u $xy$-ravnini.

Graf od $y = k$ je vodoravna linija koja sadrži točku $(0, k)$ i siječe graf kubne jednadžbe tri puta (budući da ima tri realna rješenja). S obzirom na graf, jedina horizontalna linija koja bi tri puta presijecala kubičnu jednadžbu je linija s jednadžbom $y = −3$, odnosno $f(x) = −3$. Prema tome, $k$ je $-3$.

Konačni odgovor je D.

Pitanje 14

$$q={1/2}nv^2$$

Dinamički tlak $q$ koji stvara tekućina koja se kreće brzinom $v$ može se pronaći pomoću gornje formule, gdje je $n$ konstantna gustoća tekućine. Zrakoplovni inženjer koristi formulu za pronalaženje dinamičkog tlaka tekućine koja se kreće brzinom $v$ i iste tekućine koja se kreće brzinom 1,5$v$. Koliki je omjer dinamičkog tlaka brže tekućine i dinamičkog tlaka sporije tekućine?

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Da biste riješili ovaj problem, trebate postaviti jednadžbe s varijablama. Neka $q_1$ bude dinamički tlak sporijeg fluida koji se giba brzinom $v_1$, a $q_2$ dinamički tlak bržeg fluida koji se kreće brzinom $v_2$. Zatim

$$v_2 =1,5v_1$$

S obzirom na jednadžbu $q = {1}/{2}nv^2$, zamjena dinamičkog tlaka i brzine bržeg fluida daje $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Budući da je $v_2 =1,5v_1$, izraz $1,5v_1$ može se zamijeniti s $v_2$ u ovoj jednadžbi, dajući $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Kvadriranjem $1,5$ prethodnu jednadžbu možete prepisati kao

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Stoga je omjer dinamičkog tlaka bržeg fluida

{q2}$/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

Konačni odgovor je 2,25 ili 9/4.

Pitanje 15

Za polinom $p(x)$, vrijednost $p(3)$ je $-2$. Što od sljedećeg mora biti točno za $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor od $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor od $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor od $p(x)$.
D) Ostatak kada se $p(x)$ podijeli sa $x-3$ je $-2$.

OBJAŠNJENJE ODGOVORA: Ako se polinom $p(x)$ podijeli s polinomom oblika $x+k$ (koji uključuje sve moguće odgovore u ovom pitanju), rezultat se može napisati kao

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

gdje je $q(x)$ polinom, a $r$ ostatak. Budući da je $x + k$ polinom stupnja 1 (što znači da uključuje samo $x^1$ i ne sadrži više eksponente), ostatak je realan broj.

Stoga se $p(x)$ može prepisati kao $p(x) = (x + k)q(x) + r$, gdje je $r$ realan broj.

Pitanje kaže da je $p(3) = -2$, pa to mora biti točno

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Sada možemo uključiti sve moguće odgovore. Ako je odgovor A, B ili C, $r$ će biti $0$, a ako je odgovor D, $r$ će biti $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Ovo bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Ovo bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Ovo će uvijek biti istinit bez obzira što je $q(3)$.

Od ponuđenih odgovora, jedini koji mora vrijedi za $p(x)$ je D, da je ostatak kada se $p(x)$ podijeli sa $x-3$ -2.

Konačni odgovor je D.

Zaslužujete sav san nakon što prođete kroz ta pitanja.

Što je zajedničko najtežim SAT matematičkim pitanjima?

Važno je razumjeti što ova teška pitanja čini 'teškima'. Čineći to, moći ćete razumjeti i riješiti slična pitanja kada ih vidite na dan ispita, kao i imati bolju strategiju za prepoznavanje i ispravljanje vaših prethodnih matematičkih pogrešaka na SAT ispitu.

U ovom ćemo odjeljku pogledati što je zajedničko ovim pitanjima i dati primjere svake vrste. Neki od razloga zašto su najteža matematička pitanja najteža matematička pitanja jesu jer:

#1: Testirajte nekoliko matematičkih koncepata odjednom

Ovdje se moramo baviti imaginarnim brojevima i razlomcima odjednom.

Tajna uspjeha: Razmislite koju primjenjivu matematiku možete upotrijebiti za rješavanje problema, radite korak po korak i isprobavajte svaku tehniku ​​dok ne pronađete onu koja funkcionira!

#2: Uključite mnogo koraka

Upamtite: što više koraka morate poduzeti, lakše ćete zabrljati negdje duž linije!

Moramo riješiti ovaj problem u koracima (radeći nekoliko prosjeka) kako bismo otključali ostale odgovore domino efektom. To može biti zbunjujuće, osobito ako ste pod stresom ili vam ponestaje vremena.

Tajna uspjeha: Idite polako, idite korak po korak i još jednom provjerite svoj rad kako ne biste pogriješili!

#3: Testni koncepti s kojima ste ograničeno upoznati

Na primjer, mnogi učenici su manje upoznati s funkcijama nego s razlomcima i postocima, pa se većina pitanja o funkcijama smatra problemima 'visoke težine'.

Ako se ne snalazite u funkcijama, ovo bi bio težak problem.

Tajna uspjeha: Pregledajte matematičke koncepte s kojima niste toliko upoznati, poput funkcija. Predlažemo korištenje naših izvrsnih besplatnih vodiča za pregled SAT matematike.

#4: Izrečene su na neobičan ili zamršen način

Može biti teško shvatiti točno koja su neka pitanja tražeći , a još manje shvatiti kako ih riješiti. To je osobito istinito kada se pitanje nalazi na kraju odjeljka, a ponestaje vam vremena.

Budući da ovo pitanje pruža toliko informacija bez dijagrama, može biti teško riješiti ga u ograničenom dopuštenom vremenu.

Tajna uspjeha: Uzmite si vremena, analizirajte što se od vas traži i nacrtajte dijagram ako vam je od pomoći.

#5: Koristite mnogo različitih varijabli

Uz toliko različitih varijabli u igri, lako se zbuniti.

Tajna uspjeha: Uzmite si vremena, analizirajte što se od vas traži i razmislite je li uključivanje brojeva dobra strategija za rješavanje problema (ne bi bilo za gornje pitanje, ali bi bilo za mnoga druga varijabilna pitanja SAT-a).

Za ponijeti

SAT je maraton i što ste bolje pripremljeni za njega, bolje ćete se osjećati na dan ispita. Ako znate kako se nositi s najtežim pitanjima koja vam test može postaviti, polaganje pravog SAT ispita izgledat će mnogo manje zastrašujuće.

Ako smatrate da su ova pitanja laka, nemojte podcijeniti učinak adrenalina i umora na vašu sposobnost rješavanja problema. Dok nastavljate s učenjem, uvijek se pridržavajte točnih smjernica o vremenu i pokušajte polagati potpune testove kad god je to moguće. Ovo je najbolji način da ponovno stvorite stvarno okruženje za testiranje kako biste se mogli pripremiti za pravi posao.

Ako smatrate da su ova pitanja izazovna, svakako ojačajte svoje matematičko znanje provjeravajući naše pojedinačne vodiče za matematičke teme za SAT. Tamo ćete vidjeti detaljnija objašnjenja dotičnih tema kao i detaljnije raščlambe odgovora.

Što je sljedeće?

Smatrate li da su ova pitanja teža nego što ste očekivali? Pogledajte sve teme obrađene u odjeljku SAT matematika, a zatim zabilježite koji su vam dijelovi predstavljali posebnu poteškoću. Zatim, pogledajte naše pojedinačne matematičke vodiče koji će vam pomoći da poduprete bilo koje od tih slabih područja.

Ponestaje vam vremena za matematički dio SAT? Naš vodič će vam pomoći da nadmašite vrijeme i povećate svoj rezultat.

Ciljate na savršen rezultat? Provjeri naš vodič o tome kako postići savršenih 800 na SAT matematičkom dijelu , napisao perfektni strijelac.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Ovo bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Ovo bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

To bi moglo biti točno, ali samo ako je $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Ovo će uvijek biti istinit bez obzira što je $q(3)$.

Od ponuđenih odgovora, jedini koji mora vrijedi za $p(x)$ je D, da je ostatak kada se $p(x)$ podijeli sa $x-3$ -2.

Konačni odgovor je D.

Zaslužujete sav san nakon što prođete kroz ta pitanja.

Što je zajedničko najtežim SAT matematičkim pitanjima?

Važno je razumjeti što ova teška pitanja čini 'teškima'. Čineći to, moći ćete razumjeti i riješiti slična pitanja kada ih vidite na dan ispita, kao i imati bolju strategiju za prepoznavanje i ispravljanje vaših prethodnih matematičkih pogrešaka na SAT ispitu.

U ovom ćemo odjeljku pogledati što je zajedničko ovim pitanjima i dati primjere svake vrste. Neki od razloga zašto su najteža matematička pitanja najteža matematička pitanja jesu jer:

#1: Testirajte nekoliko matematičkih koncepata odjednom

Ovdje se moramo baviti imaginarnim brojevima i razlomcima odjednom.

Tajna uspjeha: Razmislite koju primjenjivu matematiku možete upotrijebiti za rješavanje problema, radite korak po korak i isprobavajte svaku tehniku ​​dok ne pronađete onu koja funkcionira!

#2: Uključite mnogo koraka

Upamtite: što više koraka morate poduzeti, lakše ćete zabrljati negdje duž linije!

Moramo riješiti ovaj problem u koracima (radeći nekoliko prosjeka) kako bismo otključali ostale odgovore domino efektom. To može biti zbunjujuće, osobito ako ste pod stresom ili vam ponestaje vremena.

Tajna uspjeha: Idite polako, idite korak po korak i još jednom provjerite svoj rad kako ne biste pogriješili!

#3: Testni koncepti s kojima ste ograničeno upoznati

Na primjer, mnogi učenici su manje upoznati s funkcijama nego s razlomcima i postocima, pa se većina pitanja o funkcijama smatra problemima 'visoke težine'.

Ako se ne snalazite u funkcijama, ovo bi bio težak problem.

Tajna uspjeha: Pregledajte matematičke koncepte s kojima niste toliko upoznati, poput funkcija. Predlažemo korištenje naših izvrsnih besplatnih vodiča za pregled SAT matematike.

#4: Izrečene su na neobičan ili zamršen način

Može biti teško shvatiti točno koja su neka pitanja tražeći , a još manje shvatiti kako ih riješiti. To je osobito istinito kada se pitanje nalazi na kraju odjeljka, a ponestaje vam vremena.

Budući da ovo pitanje pruža toliko informacija bez dijagrama, može biti teško riješiti ga u ograničenom dopuštenom vremenu.

Tajna uspjeha: Uzmite si vremena, analizirajte što se od vas traži i nacrtajte dijagram ako vam je od pomoći.

#5: Koristite mnogo različitih varijabli

Uz toliko različitih varijabli u igri, lako se zbuniti.

Tajna uspjeha: Uzmite si vremena, analizirajte što se od vas traži i razmislite je li uključivanje brojeva dobra strategija za rješavanje problema (ne bi bilo za gornje pitanje, ali bi bilo za mnoga druga varijabilna pitanja SAT-a).

Za ponijeti

SAT je maraton i što ste bolje pripremljeni za njega, bolje ćete se osjećati na dan ispita. Ako znate kako se nositi s najtežim pitanjima koja vam test može postaviti, polaganje pravog SAT ispita izgledat će mnogo manje zastrašujuće.

Ako smatrate da su ova pitanja laka, nemojte podcijeniti učinak adrenalina i umora na vašu sposobnost rješavanja problema. Dok nastavljate s učenjem, uvijek se pridržavajte točnih smjernica o vremenu i pokušajte polagati potpune testove kad god je to moguće. Ovo je najbolji način da ponovno stvorite stvarno okruženje za testiranje kako biste se mogli pripremiti za pravi posao.

usporedba nizova c#

Ako smatrate da su ova pitanja izazovna, svakako ojačajte svoje matematičko znanje provjeravajući naše pojedinačne vodiče za matematičke teme za SAT. Tamo ćete vidjeti detaljnija objašnjenja dotičnih tema kao i detaljnije raščlambe odgovora.

Što je sljedeće?

Smatrate li da su ova pitanja teža nego što ste očekivali? Pogledajte sve teme obrađene u odjeljku SAT matematika, a zatim zabilježite koji su vam dijelovi predstavljali posebnu poteškoću. Zatim, pogledajte naše pojedinačne matematičke vodiče koji će vam pomoći da poduprete bilo koje od tih slabih područja.

Ponestaje vam vremena za matematički dio SAT? Naš vodič će vam pomoći da nadmašite vrijeme i povećate svoj rezultat.

Ciljate na savršen rezultat? Provjeri naš vodič o tome kako postići savršenih 800 na SAT matematičkom dijelu , napisao perfektni strijelac.