Nakon što shvatite kvadratnu formulu i osnove kvadratnih jednadžbi, vrijeme je za sljedeću razinu vašeg odnosa s parabolama: učenje o njihovim oblik vrha .

Čitajte dalje kako biste saznali više o obliku vrha parabole i kako pretvoriti kvadratnu jednadžbu iz standardnog oblika u oblik vrha.

istaknuta slika kredita: SBA73 /Flickr

Zašto je Vertex Form koristan? Pregled

The oblik vrha jednadžbe je alternativni način ispisivanja jednadžbe parabole.

Obično ćete vidjeti kvadratnu jednadžbu napisanu kao $ax^2+bx+c$, koja će, prikazana na grafu, biti parabola. Iz ovog obrasca dovoljno je jednostavno pronaći korijene jednadžbe (gdje parabola pogađa os $x$) postavljanjem jednadžbe na nulu (ili korištenjem kvadratne formule).

Međutim, ako trebate pronaći vrh parabole, standardni kvadratni oblik mnogo je manje od pomoći. Umjesto toga, htjet ćete pretvoriti svoju kvadratnu jednadžbu u oblik vrha.

Što je Vertex Forma?

Dok je standardni kvadratni oblik $ax^2+bx+c=y$, vrhni oblik kvadratne jednadžbe je $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

U oba oblika, $y$ je $y$-koordinata, $x$ je $x$-koordinata, a $a$ je konstanta koja vam govori je li parabola okrenuta gore ($+a$) ili dolje ($-a$). (Razmišljam o tome kao da je parabola zdjela umaka od jabuka; ako postoji $+a$, mogu dodati umak od jabuka u zdjelu; ako postoji $-a$, mogu istresti umak od jabuka iz zdjele.)

Razlika između standardnog oblika parabole i oblika tjemena je u tome što oblik tjemena jednadžbe također daje vrh parabole: $(h,k)$.

Na primjer, pogledajte ovu finu parabolu, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Na temelju grafikona, vrh parabole izgleda kao (-1,5,-2), ali je teško reći gdje se točno vrh nalazi samo na osnovu grafikona. Srećom, na temelju jednadžbe $y=3(x+4/3)^2-2$, znamo da je vrh ove parabole $(-4/3,-2)$.

Zašto je vrh $(-4/3,-2)$, a ne $(4/3,-2)$ (osim grafa, koji jasno pokazuje i $x$- i $y$-koordinate vrhovi su negativni)?

Zapamtiti: u jednadžbi oblika vrha, $h$ se oduzima i dodaje $k$ . Ako imate negativan $h$ ili negativan $k$, morat ćete osigurati da oduzmete negativni $h$ i dodate negativni $k$.

U ovom slučaju to znači:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

i stoga je vrh $(-4/3,-2)$.

Uvijek biste trebali još jednom provjeriti svoje pozitivne i negativne predznake kada ispisujete parabolu u obliku vrha , osobito ako vrh nema pozitivne $x$ i $y$ vrijednosti (ili za vas kvadrantne glave tamo vani, ako nije u kvadrant I ). Ovo je slično provjeri koju biste napravili da rješavate kvadratnu formulu ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) i trebate provjeriti jeste li zadržali svoje pozitivne i negative ravno za vaše $a$s, $b$s i $c$s.

Dolje je tablica s daljnjim primjerima nekoliko drugih jednadžbi oblika vrhova parabole, zajedno s njihovim vrhovima. Posebno obratite pažnju na razliku u $(x-h)^2$ dijelu jednadžbe oblika vrha parabole kada je koordinata $x$ vrha negativna.

Kako pretvoriti standardni kvadratni oblik u vrhni oblik

Većinu vremena kada se od vas traži da pretvorite kvadratne jednadžbe između različitih oblika, ići ćete od standardnog oblika ($ax^2+bx+c$) do vrhnog oblika ($a(x-h)^2+k$ ).

Proces pretvorbe vaše jednadžbe iz standardne kvadratne u vršni oblik uključuje niz koraka koji se nazivaju dovršavanje kvadrata. (Za više informacija o dovršavanju kvadrata svakako pročitajte ovaj članak.)

Prođimo kroz primjer pretvaranja jednadžbe iz standardnog oblika u vrhni oblik. Počet ćemo s jednadžbom $y=7x^2+42x-3/14$.

Prvo što želite učiniti je premjestiti konstantu ili izraz bez $x$ ili $x^2$ pokraj njega. U ovom slučaju, naša konstanta je $-3/14$. (Znamo da je negativan $3/14$ jer je standardna kvadratna jednadžba $ax^2+bx+c$, a ne $ax^2+bx-c$.)

Prvo ćemo uzeti to $-3/14$ i premjestiti ga na lijevu stranu jednadžbe:

$y+3/14=7x^2+42x$

Sljedeći korak je faktoriziranje 7 (vrijednost $a$ u jednadžbi) s desne strane, ovako:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Sjajno! Ova jednadžba mnogo više liči na vrhni oblik, $y=a(x-h)^2+k$.

U ovom trenutku možda mislite: 'Sve što sada trebam učiniti je pomaknuti 3/14 $ natrag na desnu stranu jednadžbe, zar ne?' Jao, ne tako brzo.

Ako pogledate dio jednadžbe unutar zagrada, primijetit ćete problem: nije u obliku $(x-h)^2$. Ima previše $x$s! Dakle, još nismo sasvim gotovi.

Ono što sada trebamo učiniti je najteži dio — dovršiti kvadrat.

Pogledajmo pobliže $x^2+6x$ dio jednadžbe. Kako bismo faktorizirali $(x^2+6x)$ u nešto što liči na $(x-h)^2$, morat ćemo dodati konstantu unutar zagrada—i morat ćemo zapamtiti dodati tu konstantu i na drugu stranu jednadžbe (budući da jednadžba mora ostati uravnotežena).

Da bismo ovo postavili (i pobrinite se da ne zaboravimo dodati konstantu na drugu stranu jednadžbe), napravit ćemo prazan prostor gdje će konstanta ići s obje strane jednadžbe:

$y+3/14+7($$)=7(x^2+6x+$$)$

Imajte na umu da smo na lijevoj strani jednadžbe uključili našu vrijednost $a$, 7, ispred razmaka gdje će ići naša konstanta; to je zato što ne samo da dodajemo konstantu desnoj strani jednadžbe, već množimo konstantu s onim što je s vanjske strane zagrada. (Ako je vaša vrijednost $a$ 1, ne morate brinuti o tome.)

Sljedeći korak je dovršiti kvadrat. U ovom slučaju, kvadrat koji ispunjavate je jednadžba unutar zagrada—dodavanjem konstante, pretvarate je u jednadžbu koja se može napisati kao kvadrat.

Da biste izračunali tu novu konstantu, uzmite vrijednost pored $x$ (6, u ovom slučaju), podijelite je s 2 i kvadrirajte.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Konstanta je 9.

Razlog zašto prepolovimo 6 i kvadriramo ga je taj što znamo da u jednadžbi u obliku $(x+p)(x+p)$ (što je ono do čega pokušavamo doći), $px+px= 6x$, dakle $p=6/2$; da bismo dobili konstantu $p^2$, moramo uzeti $6/2$ (naš $p$) i kvadrirati ga.

Sada zamijenite prazan prostor s obje strane naše jednadžbe s konstantom 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Zatim faktorizirajte jednadžbu unutar zagrada. Budući da smo dovršili kvadrat, moći ćete ga faktorizirati kao $(x+{ eki roj})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Zadnji korak: premjestite vrijednost koja nije $y$ s lijeve strane jednadžbe natrag na desnu stranu:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Čestitamo! Uspješno ste pretvorili svoju jednadžbu iz standardne kvadratne u vršnu formu.

Sada, većina problema neće samo tražiti od vas da pretvorite svoje jednadžbe iz standardnog oblika u vrhni oblik; oni će htjeti da stvarno date koordinate vrha parabole.

Kako bismo izbjegli da nas prevare promjene predznaka, napišimo opću jednadžbu oblika vrha neposredno iznad jednadžbe oblika vrha koju smo upravo izračunali:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

I onda lako možemo pronaći $h$ i $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Vrh ove parabole je na koordinatama $(-3,-{885/14})$.

Vau, to je bilo puno miješanja brojeva! Srećom, pretvaranje jednadžbi u drugom smjeru (iz vrha u standardni oblik) puno je jednostavnije.

Kako pretvoriti Vertex formu u standardnu ​​formu

Pretvaranje jednadžbi iz njihove vršne forme u pravilnu kvadratnu formu mnogo je jednostavniji postupak: sve što trebate učiniti je pomnožiti vršnu formu.

Uzmimo naš primjer jednadžbe od ranije, $y=3(x+4/3)^2-2$. Da bismo ovo pretvorili u standardni oblik, samo ćemo proširiti desnu stranu jednadžbe:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Uspješno ste pretvorili $y=3(x+4/3)^2-2$ u njegov $ax^2+bx+c$ oblik.

Vježba oblika vrha parabole: ogledna pitanja

Za kraj ovog istraživanja forme vrha, imamo četiri primjera problema i objašnjenja. Provjerite možete li sami riješiti probleme prije nego što pročitate objašnjenja!

#1: Koji je vrhni oblik kvadratne jednadžbe $x^2+ 2,6x+1,2$?

#2: Pretvorite jednadžbu $7y=91x^2-112$ u oblik vrha. Što je vrh?

#3: S obzirom na jednadžbu $y=2(x-3/2)^2-9$, koje su $x$-koordinate mjesta gdje se ova jednadžba siječe s $x$-osi?

#4: Pronađite vrh parabole $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Parabola Vertex Form Vježbanje: Rješenja

#1: Koji je vrhni oblik kvadratne jednadžbe ${i x^2}+ 2,6i x+1,2$?

Započnite odvajanjem varijable koja nije $x$ na drugu stranu jednadžbe:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Budući da je naš $a$ (kao u $ax^2+bx+c$) u izvornoj jednadžbi jednak 1, ne trebamo ga faktorizirati s desne strane ovdje (iako ako želite, možete napisati $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Zatim podijelite koeficijent $x$ (2,6) s 2 i kvadrirajte ga, a zatim dodajte dobiveni broj objema stranama jednadžbe:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Faktorirajte desnu stranu jednadžbe unutar zagrada:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Na kraju, kombinirajte konstante na lijevoj strani jednadžbe, a zatim ih premjestite na desnu stranu.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Naš odgovor je $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Pretvorite jednadžbu $7i y=91i x^2-112$ u oblik vrha. Što je vrh?

Kada pretvarate jednadžbu u oblik vrha, želite da $y$ ima koeficijent 1, tako da ćemo prvo podijeliti obje strane ove jednadžbe sa 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Zatim prenesite konstantu na lijevu stranu jednadžbe:

$y+16=13x^2$

Rastavite koeficijent broja $x^2$ ($a$) s desne strane jednadžbe

$y+16=13(x^2)$

Sada, normalno biste morali popuniti kvadratić na desnoj strani jednadžbe unutar zagrada. Međutim, $x^2$ je već kvadrat, tako da ne morate učiniti ništa osim pomicanja konstante s lijeve strane jednadžbe natrag na desnu stranu:

$y=13(x^2)-16$.

Sada da pronađemo vrh:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, dakle $h=0$

$+k=-16$, dakle $k=-16$

Vrh parabole je na $(0, -16)$.

#3: S obzirom na jednadžbu $i y=2(i x-3/2)^2-9$, kolike su $i x$-koordinate gdje se ova jednadžba siječe s $i x$-os?

Budući da pitanje od vas traži da pronađete $x$-odsječak(a) jednadžbe, prvi korak je postaviti $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Odavde postoji nekoliko načina. Podmukli način je iskoristiti činjenicu da već postoji kvadrat zapisan u jednadžbi oblika vrha u svoju korist.

Prvo ćemo premjestiti konstantu na lijevu stranu jednadžbe:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

Zatim ćemo obje strane jednadžbe podijeliti s 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Sada, tajni dio. Izvadite kvadratni korijen obje strane jednadžbe:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±