U ovom članku ćemo raspravljati o simetričnoj razlici između dva skupa. Ovdje ćemo također raspravljati o svojstvima simetrične razlike između dva skupa.

Nadamo se da će vam ovaj članak biti od pomoći kako biste razumjeli simetričnu razliku između dva skupa.

Što je simetrična razlika?

Druga varijanta razlike je simetrična razlika. Pretpostavimo da postoje dva skupa, A i B. Simetrična razlika između oba skupa A i B je skup koji sadrži elemente koji su prisutni u oba skupa osim zajedničkih elemenata.

Simetrična razlika između dva skupa naziva se i as disjunktivni savez . Simetrična razlika između dva skupa je skup elemenata koji se nalaze u oba skupa, ali ne iu njihovom sjecištu. Simetrična razlika između dva skupa A i B je predstavljena sa A D B ili A? B .

Možemo to razumjeti kroz primjere.

Primjer1 Pretpostavimo da postoje dva skupa s nekim elementima.

Skup A = {1, 2, 3, 4, 5}

Skup B = {3, 5}

Dakle, simetrična razlika između zadanih skupova A i B je {1, 2, 4}

Ili, možemo tako reći A Δ B = {1, 2, 4} .

Primjer2 Pretpostavimo da postoje dva skupa s nekim elementima.

Skup A = {a, b, c, k, m, n}

Skup B = {c, n}

Dakle, simetrična razlika između zadanih skupova A i B je {a, b, k, m}

Ili, možemo tako reći A Δ B = {a, b, k, m} .

U donjem Vennovom dijagramu možete vidjeti simetričnu razliku između dva skupa.

Dio osjenčan bojom kože u gornjem Vennovom dijagramu je simetrična razlika između danih skupova, tj. A D B .

Pogledajmo neka od svojstava simetrične razlike između dva skupa.

Svojstva

Postoje neka od svojstava simetrične razlike koja su navedena kako slijedi;

• Simetrična razlika može se prikazati kao unija oba relativna komplementa, tj.
  A Δ B = (A / B) ∪ (B / A)
• Simetrična razlika između dva skupa također se može izraziti kao unija dva skupa minus presjek između njih -
  A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
• Simetrična razlika je komutativna kao i asocijativna -
  A Δ B = B Δ A
  (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
• Prazan skup je neutralan (u matematici se za neutralni element kaže da je posebna vrsta elementa koji, kada se kombinira s bilo kojim elementom u skupu za izvođenje binarne operacije, ostavlja element nepromijenjen. Također je poznat kao Element identiteta ).
  A Δ ∅ = A
  A Δ A = ∅
• Ako je skup A jednak skupu B, tada je simetrična razlika između oba skupa -
  A Δ B = ∅ {kada je A = B}

'Simetrična razlika između dva skupa' v/s 'Razlika između dva skupa'

Razlika između dva skupa

Razlika između dva skupa A i B je skup svih onih elemenata koji pripadaju A, ali ne pripadaju B i označava se sa A - B .

Primjer: Neka je A = {1, 2, 3, 4}

i B = {3, 4, 5, 6}

zatim A - B = {3, 4} i B - A = {5, 6}

Simetrična razlika između dva skupa

Simetrična razlika između dva skupa, A i B, je skup koji sadrži sve elemente koji su u A ili B, ali ne u oba. Predstavlja ga A D B ili A? B .

Primjer: Neka je A = {1, 2, 3, 4}

i B = {3, 4, 5, 6}

tada je A Δ B = {1, 2, 5, 6}

Sada, pogledajmo neke primjere kako bismo jasnije razumjeli simetričnu razliku između dva skupa.

Question1 - Pretpostavimo da imate skupove A = {10, 15, 17, 19, 20} i B = {15, 16, 18}. Odredite razliku između skupova A i B i također saznajte simetričnu razliku između njih.

Riješenje - s obzirom,

apache

A = {10, 15, 17, 19, 20}

i B = {15, 16, 18}

Razlika između oba skupa je -

A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}

= {10, 17, 19, 20}

Simetrična razlika između oba skupa je -

A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}

= {10, 16, 17, 18, 19, 20}

Pitanje 2 - Pretpostavimo da imate skupove A = {2, 4, 6, 8} i B = {2, 5, 7, 8}. Odredite simetričnu razliku B Δ A. Također, nacrtajte Vennov dijagram da biste predstavili simetričnu razliku između oba data skupa.

Riješenje - Zadano je A = {2, 4, 6, 8} i B = {2, 5, 7, 8}

Znamo da je B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)

Pokušajmo riješiti pitanje korak po korak. Dakle, prvi korak je pronaći uniju skupa A i skupa B.

Prema tome, (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}

= {2, 4, 5, 6, 7, 8}

Nakon toga moramo izračunati presjek između oba skupa.

(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}

= {2, 8}

Sada moramo pronaći razliku između unije i presjeka skupova A i B, kao što je navedeno u formuli,

Dakle, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}

= {4, 5, 6, 7}

Prema tome, B Δ A = {4, 5, 6, 7}

Što će biti jednako A Δ B, kao što je gore navedeno, 'Simetrična razlika je komutativna'. Sada ćemo prikazati simetričnu razliku između oba skupa pomoću Vennovog dijagrama.

U Vennovom dijagramu prvo ćemo nacrtati dva kruga koji predstavljaju skupove A i B. Kao što je gore izračunato, sjecište između oba skupa je {2, 8}, pa smo te elemente naveli u području koje se siječe. Zatim navodimo preostale elemente u njihovim odgovarajućim skupovima krugova, tj. {4, 6} u skupu A i {5, 7} u skupu B. Nakon sređivanja elemenata, Vennov dijagram će biti -

Kada pogledamo gornji Vennov dijagram, postoji univerzalni skup U. Oba skupa A i B su podskup univerzalnog skupa U. Elementi {2, 8} su elementi koji se sijeku, tako da su predstavljeni u području sijekanja. Područje svijetlonarančaste boje je unija skupova osim područja koje se presijeca. Ovo područje je simetrična razlika između skupova A i B, i bit će predstavljeno kao -

B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}

pitanje 3 - Pretpostavimo da imate skupove A = {5, 6, 8, 9, 10} i B = {2, 4, 7, 10, 19}.

Dokažite da je simetrična razlika komutativna pomoću zadanih skupova.

Riješenje - Zadano je A = {5, 6, 8, 9, 10} i B = {2, 7, 8, 9, 10}

Dokazati: A Δ B = B Δ A

Uzmite LHS,

A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)

(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}

= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}

= {8, 9, 10}

Dakle, A Δ B = {2, 5, 6, 7}

Sada, uzmi RHS

B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)

(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}

= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}

= {8, 9, 10}

Dakle, B Δ A = {2, 5, 6, 7}

Prema tome, A Δ B = B Δ A

Dakle, simetrična razlika je komutativna.