Pretpostavimo da postoje dvije složene izjave, X i Y, koje će biti poznate kao logička ekvivalencija ako i samo ako tablica istinitosti obje sadrži iste vrijednosti istinitosti u svojim stupcima. Uz pomoć simbola = ili ⇔, možemo prikazati logičku ekvivalenciju. Dakle, X = Y ili X ⇔ Y će biti logička ekvivalentnost ovih izjava.
Uz pomoć definicije logičke ekvivalencije, razjasnili smo da ako su složeni iskazi X i Y logička ekvivalencija, u ovom slučaju X ⇔ Y mora biti tautologija.
Zakoni logičke ekvivalencije
U ovom zakonu koristit ćemo simbole 'I' i 'ILI' da objasnimo zakon logičke ekvivalencije. Ovdje je I označeno pomoću simbola ∧, a ILI je označeno pomoću simbola ∨. Postoje različiti zakoni logičke ekvivalencije, koji su opisani na sljedeći način:
Idempotentni zakon:
U idempotentnom zakonu koristimo samo jednu izjavu. Prema ovom zakonu, ako kombiniramo dva ista iskaza sa simbolom ∧(i) i ∨(ili), tada će rezultantni iskaz biti sam iskaz. Pretpostavimo da postoji složena izjava P. Sljedeća oznaka se koristi za označavanje idempotentnog zakona:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
Tablica istine za ovaj zakon opisana je na sljedeći način:
| P | P | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Ova tablica sadrži iste istinite vrijednosti u stupcima P, P ∨ P i P ∧ P.
Stoga možemo reći da je P ∨ P = P i P ∧ P = P.
Komutativni zakoni:
Dvije se izjave koriste za prikaz komutativnog zakona. Prema tom zakonu, ako spojimo dva iskaza sa simbolom ∧(i) ili ∨(ili), tada će rezultantni iskaz biti isti čak i ako promijenimo položaj iskaza. Pretpostavimo da postoje dvije tvrdnje, P i Q. Propozicija ovih tvrdnji bit će lažna kada su obje tvrdnje P i Q netočne. U svim drugim slučajevima to će biti istina. Za označavanje komutativnog zakona koristi se sljedeća oznaka:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
Tablica istinitosti za ove oznake opisana je kako slijedi:
| P | Q | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Ova tablica sadrži iste istinite vrijednosti u stupcima P ∨ Q i Q ∨ P.
Stoga možemo reći da je P ∨ Q ? Q ∨ P.
Isto kao što možemo dokazati P ∧ Q ? Q ∧ P.
Asocijativni zakon:
Tri izjave se koriste za prikaz asocijativnog zakona. Prema tom zakonu, spojimo li tri izjave uz pomoć zagrada simbolom ∧(i) ili ∨(ili), tada će rezultantna izjava biti ista čak i ako promijenimo redoslijed zagrada. To znači da je ovaj zakon neovisan o grupiranju ili udruživanju. Pretpostavimo da postoje tri izjave P, Q i R. Propozicija ovih izjava bit će netočna ako su P, Q i R netočni. U svim drugim slučajevima to će biti istina. Za označavanje asocijativnog zakona koristi se sljedeća oznaka:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Tablica istinitosti za ove oznake opisana je kako slijedi:
| P | Q | R | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Ova tablica sadrži iste vrijednosti istinitosti u stupcima P ∨ (Q ∨ R) i (P ∨ Q) ∨ R.
Stoga možemo reći da je P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
javascript padajući izbornik
Isto kao što možemo dokazati P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Distributivni zakon:
Tri izjave se koriste za prikaz zakona distribucije. Prema ovom zakonu, ako kombiniramo iskaz simbolom ∨(ILI) s dva druga iskaza koji su spojeni simbolom ∧(I), tada će rezultantni iskaz biti isti čak i ako odvojeno kombiniramo iskaze sa simbol ∨(ILI) i kombiniranje spojenih iskaza s ∧(AND). Pretpostavimo da postoje tri iskaza P, Q i R. Sljedeća oznaka se koristi za označavanje zakona distribucije:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Tablica istinitosti za ove oznake opisana je kako slijedi:
| P | Q | R | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Ova tablica sadrži iste istinite vrijednosti u stupcima P ∨ (Q ∧ R) i (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Stoga možemo reći da je P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Isto kao što možemo dokazati P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Zakon o identitetu:
Za prikaz zakona identiteta koristi se jedna izjava. Prema ovom zakonu, ako kombiniramo izjavu i True vrijednost sa simbolom ∨(ili), tada će to generirati True vrijednost. Ako kombiniramo izjavu i False vrijednost sa simbolom ∧(i), tada će se sama generirati izjava. Slično ćemo to učiniti sa suprotnim simbolima. To znači da ako kombiniramo iskaz i True vrijednost sa simbolom ∧(i), tada će generirati sam iskaz, a ako kombiniramo iskaz i False vrijednost sa simbolom ∨(or), tada će generirati Lažna vrijednost. Pretpostavimo da postoji složena izjava P, istinita vrijednost T i lažna vrijednost F. Sljedeća oznaka se koristi za označavanje zakona identiteta:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
Tablica istinitosti za ove oznake opisana je kako slijedi:
| P | T | F | P ∨ T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Ova tablica sadrži iste vrijednosti istinitosti u stupcima P ∨ T i T. Prema tome, možemo reći da je P ∨ T = T. Slično, ova tablica također sadrži iste vrijednosti istinitosti u stupcima P ∨ F i P. Stoga možemo reći da je P ∨ F = P.
Isto kao što možemo dokazati P ∧ T ? P i P ∧ F ? F
Zakon komplementa:
U zakonu komplementa koristi se pojedinačna izjava. Prema ovom zakonu, ako kombiniramo iskaz s njegovim komplementarnim iskazom sa simbolom ∨(ili), tada će generirati vrijednost True, a ako kombiniramo te iskaze sa simbolom ∧(and), tada će generirati False vrijednost. Ako negiramo pravu vrijednost, onda će generirati lažnu vrijednost, a ako negiramo lažnu vrijednost, onda će generirati pravu vrijednost.
znak u niz
Za označavanje zakona komplementa koristi se sljedeća oznaka:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
Tablica istinitosti za ove oznake opisana je kako slijedi:
| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Ova tablica sadrži iste vrijednosti istinitosti u stupcima P ∨ ¬P i T. Prema tome, možemo reći da je P ∨ ¬P = T. Slično, ova tablica također sadrži iste vrijednosti istinitosti u stupcima P ∧ ¬P i F. Stoga možemo reći da je P ∧ ¬P = F.
Ova tablica sadrži iste vrijednosti istinitosti u stupcima ¬T i F. Stoga, možemo reći da je ¬T = F. Slično, ova tablica sadrži iste vrijednosti istinitosti u stupcima ¬F i T. Stoga možemo reći da ¬F = T.
Zakon dvostruke negacije ili zakon involucije
Jedna izjava se koristi za prikaz zakona dvostruke negacije. Prema ovom zakonu, ako izvršimo negaciju negirane izjave, tada će rezultantna izjava biti sama izjava. Pretpostavimo da postoji izjava P i negirana izjava ¬P. Sljedeća oznaka se koristi za označavanje zakona dvostruke negacije:
¬(¬P) ? P
Tablica istinitosti za ove oznake opisana je kako slijedi:
| P | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Ova tablica sadrži iste istinite vrijednosti u stupcima ¬(¬P) i P. Stoga možemo reći da je ¬(¬P) = P.
Iz Morganova zakona:
Dvije izjave se koriste za prikaz De Morganovog zakona. Prema ovom zakonu, ako kombiniramo dva iskaza sa simbolom ∧(AND) i zatim izvršimo negaciju tih kombiniranih iskaza, tada će rezultantni iskaz biti isti čak i ako kombiniramo negaciju oba iskaza odvojeno sa simbolom ∨( ILI). Pretpostavimo da postoje dvije složene izjave, P i Q. Sljedeća oznaka se koristi za označavanje De Morganovog zakona:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Tablica istinitosti za ove oznake opisana je kako slijedi:
| P | Q | ¬P | ¬Q | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Ova tablica sadrži iste vrijednosti istinitosti u stupcima ¬(P ∧ Q) i ¬ P ∨ ¬Q. Stoga možemo reći da je ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
Isto kao što možemo dokazati ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
kat timpf težina
Zakon apsorpcije:
Dvije izjave se koriste za prikaz zakona apsorpcije. Prema ovom zakonu, ako izraz P kombiniramo simbolom ∨(ILI) s istim iskazom P i jednim drugim iskazom Q, koji su spojeni simbolom ∧(AND), tada će rezultantni iskaz biti prvi iskaz P. Isti rezultat će se dobiti ako zamijenimo simbole. Pretpostavimo da postoje dvije složene izjave, P i Q. Sljedeća oznaka se koristi za označavanje zakona apsorpcije:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
Tablica istinitosti za ove oznake opisana je kako slijedi:
| P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Ova tablica sadrži iste vrijednosti istinitosti u stupcima P ∨ (P ∧ Q) i P. Stoga možemo reći da je P ∨ (P ∧ Q) ? P.
Slično, ova tablica također sadrži iste vrijednosti istinitosti u stupcima P ∧ (P ∨ Q) i P. Stoga možemo reći da je P ∧ (P ∨ Q) ? P.
Primjeri logičke ekvivalencije
Postoje različiti primjeri logičke ekvivalencije. Neki od njih opisani su na sljedeći način:
Primjer 1: U ovom primjeru, uspostavit ćemo svojstvo ekvivalentnosti za izjavu, koja je opisana na sljedeći način:
p → q ? ¬p ∨ q
Riješenje:
To ćemo dokazati uz pomoć tablice istinitosti, koja je opisana na sljedeći način:
| P | Q | ¬str | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Ova tablica sadrži iste vrijednosti istinitosti u stupcima p → q i ¬p ∨ q. Stoga možemo reći da je p → q ? ¬p ∨ q.
Primjer 2: U ovom primjeru, uspostavit ćemo svojstvo ekvivalentnosti za izjavu, koja je opisana na sljedeći način:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Riješenje:
| P | Q | P → Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Ova tablica sadrži iste istinite vrijednosti u stupcima P ↔ Q i (P → Q) ∧ (Q → P). Stoga možemo reći da je P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Primjer 3: U ovom primjeru ćemo koristiti ekvivalentno svojstvo da dokažemo sljedeću tvrdnju:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
Riješenje:
Da bismo to dokazali, upotrijebit ćemo neke od gore opisanih zakona i iz tog zakona imamo:
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Sada ćemo koristiti komutativni zakon u gornjoj jednadžbi i dobiti sljedeće:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Sada ćemo koristiti zakon distribucije u ovoj jednadžbi i dobiti sljedeće:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Sada ćemo koristiti zakon distribucije u ovoj jednadžbi i dobiti sljedeće:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Sada ćemo koristiti zakon komplementa u ovoj jednadžbi i dobiti sljedeće:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Sada ćemo koristiti zakon identiteta i dobiti sljedeće:
arraylist sortirana java
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Sada ćemo koristiti komutativni zakon u ovoj jednadžbi i dobiti sljedeće:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Konačno, jednadžba (1) postaje sljedeća:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Konačno, možemo reći da jednadžba (1) postaje p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)