Pretpostavimo da postoje dvije formule, X i Y. Ove formule će biti poznate kao ekvivalencija ako je X ↔ Y tautologija. Ako su dvije formule X ↔ Y tautologija, onda je također možemo napisati kao X ⇔ Y, a ovu relaciju možemo čitati kao da je X ekvivalent Y.

Napomena: Postoje neke točke koje bismo trebali imati na umu tijekom linearne ekvivalencije formule, a koje su opisane kako slijedi:

• ⇔ koristi se samo za označavanje simbola, ali nije vezivno.
• Istinosna vrijednost X i Y uvijek će biti jednaka ako je X ↔ Y tautologija.
• Relacija ekvivalencije sadrži dva svojstva, simetričnost i tranzitivnost.

Metoda 1: Metoda tablice istinitosti:

U ovoj metodi ćemo konstruirati tablice istinitosti bilo koje formule s dvije tvrdnje i zatim provjeriti jesu li te tvrdnje ekvivalentne.

Primjer 1: U ovom primjeru moramo dokazati X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Riješenje: Tablica istinitosti X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) opisana je na sljedeći način:

Kao što vidimo da je X ∨ Y i ¬(¬X ∧ ¬Y) tautologija. Dakle X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Primjer 2: U ovom primjeru moramo dokazati (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Riješenje: Tablica istinitosti (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) opisana je na sljedeći način:

Kao što vidimo da su X → Y i (¬X ∨ Y) tautologija. Dakle (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Formula ekvivalencije:

Postoje različiti zakoni koji se koriste za dokazivanje formule ekvivalencije, koja je opisana na sljedeći način:

Idempotentni zakon: Ako postoji jedna formula izjave, ona će imati sljedeća svojstva:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Asocijativni zakon: Ako postoje tri formule iskaza, tada će imati sljedeća svojstva:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Komutativni zakon: Ako postoje dvije formule iskaza, tada će imati sljedeća svojstva:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Distributivni zakon: Ako postoje tri formule iskaza, tada će imati sljedeća svojstva:

Glumica Rakul Preet Singh

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Zakon o identitetu: Ako postoji jedna formula izjave, ona će imati sljedeća svojstva:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Zakon komplementa: Ako postoji jedna formula izjave, ona će imati sljedeća svojstva:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Zakon apsorpcije: Ako postoje dvije formule iskaza, tada će imati sljedeća svojstva:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Iz Morganova zakona: Ako postoje dvije formule iskaza, tada će imati sljedeća svojstva:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Metoda 2: Proces zamjene

U ovoj metodi pretpostavit ćemo formulu A : X → (Y → Z). Formula Y → Z može biti poznata kao dio formule. Ako ovaj dio formule, tj. Y → Z, zamijenimo pomoću formule ekvivalencije ¬Y ∨ Z u A, tada ćemo dobiti drugu formulu, tj. B : X → (¬Y ∨ Z). Jednostavan je postupak za provjeru jesu li dane formule A i B međusobno ekvivalentne ili ne. Uz pomoć procesa zamjene, možemo dobiti B od A.

Primjer 1: U ovom primjeru, moramo dokazati da je {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Riješenje: Ovdje ćemo uzeti lijevi dio i pokušati dobiti desni dio.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Sada ćemo koristiti asocijativni zakon ovako:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Sada ćemo koristiti De Morganov zakon ovako:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Stoga dokazano

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Primjer 2: U ovom primjeru moramo dokazati da je {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Riješenje: Ovdje ćemo uzeti lijevi dio i pokušati dobiti desni dio.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Stoga dokazano

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Primjer 3: U ovom primjeru moramo dokazati da je X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

Riješenje: Ovdje ćemo uzeti lijevi dio i pokušati dobiti desni dio.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Stoga dokazano

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Primjer 4: U ovom primjeru moramo dokazati da je (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Riješenje: Ovdje ćemo uzeti lijevi dio i pokušati dobiti desni dio.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Sada ćemo koristiti asocijativne i distributivne zakone ovako:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Sada ćemo koristiti De Morganov zakon ovako:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Sada ćemo koristiti zakon distribucije ovako:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Stoga dokazano

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Primjer 5: U ovom primjeru moramo pokazati da je ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) tautologija.

Riješenje: Ovdje ćemo uzeti male dijelove i riješiti ih.

Prvo ćemo koristiti De Morganov zakon i dobiti sljedeće:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Stoga,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Također

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Stoga

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Tako

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Stoga možemo reći da je navedena formula tautologija.

Primjer 6: U ovom primjeru moramo pokazati da je (X ∧ Y) → (X ∨ Y) tautologija.

uvozni mrav

Riješenje: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Sada ćemo koristiti De Morganov zakon ovako:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Sada ćemo koristiti asocijativni zakon i komutativni zakon ovako:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Sada ćemo koristiti zakon negacije ovako:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Stoga možemo reći da je navedena formula tautologija.

Primjer 7: U ovom primjeru moramo napisati negaciju nekih izjava koje su opisane na sljedeći način:

1. Marry će završiti svoje obrazovanje ili prihvatiti pristupno pismo XYZ Company.
2. Harry će sutra otići na vožnju ili trčanje.
3. Ako dobijem dobre ocjene, moj rođak će biti ljubomoran.

Riješenje: Prvo ćemo riješiti prvu izjavu ovako:

1. Pretpostavimo da će X: Marry završiti svoje obrazovanje.

Y: Prihvatite pristupno pismo tvrtke XYZ.

Možemo koristiti sljedeći simbolički oblik da izrazimo ovu izjavu:

 X ∨ Y 

Negacija X ∨ Y opisana je na sljedeći način:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Zaključno, negacija date tvrdnje će biti:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Pretpostavimo X: Harry će se provozati

Y: Harry će trčati sutra

Možemo koristiti sljedeći simbolički oblik da izrazimo ovu izjavu:

 X ∨ Y 

Negacija X ∨ Y opisana je na sljedeći način:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Zaključno, negacija date tvrdnje će biti:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Pretpostavimo X: Ako dobijem dobre ocjene.

Y: Moj rođak će biti ljubomoran.

Možemo koristiti sljedeći simbolički oblik da izrazimo ovu izjavu:

 X → Y 

Negacija X → Y opisana je na sljedeći način:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

Zaključno, negacija date tvrdnje će biti:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Primjer 8: U ovom primjeru moramo napisati negaciju nekih iskaza uz pomoć De Morganovog zakona. Ove izjave su opisane kako slijedi:

1. Trebam dijamantni set i vrijedan zlatnog prstena.
2. Dobiješ dobar posao ili nećeš dobiti dobrog partnera.
3. Prihvaćam puno posla i ne mogu to podnijeti.
4. Moj pas ide na put ili pravi nered u kući.

Riješenje: Negacija svih izjava uz pomoć De Morganovog zakona opisuje se jednu po jednu ovako:

1. Ne treba mi dijamantni set ili nije vrijedan zlatnog prstena.
2. Ne možete dobiti dobar posao, a dobit ćete dobrog partnera.
3. Ne preuzimam puno posla ili mogu to podnijeti.
4. Moj pas ne ide na put i ne pravi nered u kući.

Primjer 9: U ovom primjeru imamo neke izjave i moramo napisati negaciju tih izjava. Izjave su opisane na sljedeći način:

1. Ako pada kiša, plan za odlazak na plažu se otkazuje.
2. Ako marljivo učim, dobit ću dobre ocjene na ispitu.
3. Ako odem na noćnu zabavu, onda ću dobiti kaznu od svog oca.
4. Ako ne želiš razgovarati sa mnom, moraš blokirati moj broj.

Riješenje: Negacija svih izjava je opisana jedna po jedna ovako:

1. Ako je plan za odlazak na plažu otkazan, onda pada kiša.
2. Ako dobijem dobre ocjene na ispitu, marljivo učim.
3. Ako ću dobiti kaznu od oca, onda idem na kasnu zabavu.
4. Ako moraš blokirati moj broj, onda ne želiš razgovarati sa mnom.

Primjer 10: U ovom primjeru moramo provjeriti jesu li (X → Y) → Z i X → (Y → Z) logički ekvivalentni ili ne. Moramo opravdati svoj odgovor uz pomoć tablica istinitosti i uz pomoć logičkih pravila da bismo pojednostavili oba izraza.

Riješenje: Prvo ćemo koristiti metodu 1 da provjerimo jesu li (X → Y) → Z i X → (Y → Z) logički ekvivalentni, što je opisano na sljedeći način:

kako spojiti nizove u Javi

Metoda 1: Ovdje ćemo pretpostaviti sljedeće:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

I

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Metoda 2: Sada ćemo koristiti drugu metodu. U ovoj metodi koristit ćemo tablicu istinitosti.

U ovoj tablici istine možemo vidjeti da stupci (X → Y) → Z i X → (Y → Z) ne sadrže identične vrijednosti.