Koji su faktori od 45? 1, 3, 5, 9, 15 i 45.
Pitate se kako sam došao do tih brojki? Faktoring! Budući da pruža matematičku osnovu za kompliciranije sustave, ključno je naučiti faktorirati. Dakle, učite li za test iz algebre, pripremate se za SAT ili ACT ili samo želite osvježiti i zapamtiti kako faktorizirati brojeve za više razrede matematike, ovo je vodič za vas.
Što je faktoring?
Faktoring je proces pronalaženja svakog cijelog broja koji se može pomnožiti drugim cijelim brojem da bi se izjednačio ciljni broj . Oba višekratnika bit će faktori ciljanog broja.
Rastavljanje brojeva na faktore može izgledati samo kao zamoran zadatak ili učenje napamet bez krajnjeg cilja, ali rastavljanje na faktore je tehnika koja pomaže u izgradnji okosnice mnogo složenijih matematičkih procesa.
Bez znanja kako rastaviti na faktore, bilo bi potpuno teško (ako ne i nemoguće) shvatiti polinome i račun, pa bi čak i jednostavne zadatke kao što je dijeljenje čeka bilo teže shvatiti u glavi.
Koji su faktori od 45? Faktoring na djelu
Ovaj koncept može biti teško vizualizirati, pa pogledajmo sve faktore od 45 da vidimo ovaj proces na djelu. Faktori od 45 su parovi brojeva koji su jednaki 45 kada se međusobno pomnože :
1 & 45 (jer 1 * 45 = 45)
3 & 15 (jer 3 * 15 = 45)
5 & 9 (jer 5 * 9 = 45)
Dakle, u obliku liste, 45 faktora su 1, 3, 5, 9, 15 i 45 .
Srećom po nas, faktoring zahtijeva samo prve dvije funkcije na ovoj slici (jua!)
Rastavljanje na proste faktore i prosti faktori od 45
Primarni broj je svaki cijeli broj veći od 1 koji može samo podijeliti (ravnomjerno) s 1 i samim sobom. Popis najmanjih prostih brojeva su 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... i tako dalje.
premijera faktorizacija znači pronaći faktore prostih brojeva ciljanog broja koji, kada se međusobno pomnože, daju jednak ciljnom broju. Dakle, ako koristimo 45 kao naš ciljni broj, želimo pronaći samo proste faktore od 45 koje treba pomnožiti kako bi bili jednaki 45.
Iz faktora s gornjeg popisa 45 znamo da su samo neki od tih faktora (3 i 5) prosti brojevi. Ali također znamo da 3 * 5 vrijedi ne jednako 45. Dakle, 3 * 5 je nepotpuno rastavljanje na proste faktore.
Najlakši način da pronađete a potpuna prosta faktorizacija bilo kojeg ciljnog broja je korištenje onoga što je u biti 'naopako' dijeljenje i dijeljenje samo s najmanjim prostim brojem koji može stati u svaki rezultat.
Na primjer:
Podijelite ciljni broj (45) s najmanjim prostim brojem koji ga može činiti. U ovom slučaju, to je 3.
Na kraju imamo 15. Sada podijelite 15 s najmanjim prostim brojem koji ga može činiti. U ovom slučaju, to je opet 3.
Na kraju imamo rezultat 5. Sada podijelite 5 s najmanjim prostim brojem koji se može uključiti u njega. U ovom slučaju, to je 5.
Ovo nam ostavlja 1, tako da smo gotovi.
Prvo faktoriziranje bit će svi brojevi na 'vanjskoj strani' pomnoženi zajedno. Kada se zajedno pomnože, rezultat će biti 45. (Napomena: ne uključujemo 1 jer 1 nije prost broj.)
Naše konačno rastavljanje na proste faktore od 45 je 3 * 3 * 5.
Drugačija vrsta Prime.
Određivanje faktora bilo kojeg broja
Prilikom određivanja faktora, najbrži način je pronaći faktor parovi kao što smo učinili ranije za sve faktore od 45. Pronalaženjem parova, prepolovili ste svoj posao, budući da pronalazite i najmanji i najveći faktor u isto vrijeme.
Sada, najbrži način da odredite sve parove faktora koji će vam trebati za faktoriziranje ciljnog broja jest pronaći rezervni korijen ciljnog broja (ili kvadratni korijen i zaokružiti na najbliži cijeli broj) i koristiti taj broj kao svoj zaustavljanje točka za pronalaženje malih faktora.
Zašto? Zato što ste već pronašli sve faktore veće od kvadrata pronalaženjem parova faktora manjih faktora. I ponovit ćete te faktore samo ako nastavite pokušavati pronaći faktore veće od kvadratnog korijena.
Ne brinite ako ovo sada zvuči zbunjujuće! Proradit ćemo s primjerom da vam pokažemo kako možete izbjeći gubljenje vremena na ponovno pronalaženje istih faktora.
Dakle, pogledajmo metodu na djelu za pronalaženje svih faktora od 64:
Prvo, uzmimo kvadratni korijen iz 64.
√64 = 8
Sada znamo samo usredotočiti se na cijele brojeve 1 - 8 kako bismo pronašli prvu polovicu svih naših faktorskih parova.
#1: Naš prvi faktorski par bit će 1 & 64
#2: 64 je paran broj, tako da će naš sljedeći par faktora biti 2 & 32.
#3: 64 se ne može ravnomjerno podijeliti s 3, tako da 3 NIJE faktor.
#4: 64/4 = 16, tako da će naš sljedeći par faktora biti 4 & 16.
#5: 64 nije ravnomjerno djeljivo s 5, tako da 5 NIJE faktor 64.
#6: 6 ne ide ravnomjerno u 64, tako da 6 NIJE faktor od 64.
#7: 7 ne ide jednako u 64, tako da 7 NIJE faktor 64.
#8: 8 * 8 (8 na kvadrat) jednako je 64, tako da je 8 faktor 64.
I ovdje možemo stati, jer je 8 kvadratni korijen od 64. Ako bismo nastavili pokušavati pronaći faktore, samo bismo ponovili veće brojeve iz naših ranijih parova faktora (16, 32, 64).
Naš konačni popis faktora od 64 je 1, 2, 4, 8, 16, 32 i 64.
Čimbenici (poput pačića) uvijek su bolji u paru.
Prečaci za pronalaženje faktora
Sada da vidimo kako možemo brzo pronaći najmanje faktore (a time i parove faktora) ciljanog broja. U nastavku sam naveo neke korisne trikove pomoću kojih možete odrediti jesu li brojevi od 1 do 11 činitelji određenog broja.
1) Kad god želite faktorirati broj, uvijek možete odmah početi s dva faktora: 1 i ciljnim brojem (na primjer, 1 & 45, ako rastavljate 45). Bilo koji broj (osim 0) uvijek se može pomnožiti s 1 da bi bio jednak sam sebi, dakle 1 volja stalno biti faktor.
2) Ako je ciljni broj paran, vaši sljedeći faktori bit će 2 i pol ciljanog broja. Ako je broj neparan, automatski znate da se ne može ravnomjerno podijeliti s 2, pa 2 NEĆE biti faktor. (U stvari, ako je ciljni broj neparan, neće imati faktore NIKAKVOG parnog broja.)
3) Brz način da saznate je li broj djeljiv s 3 je da zbrojite znamenke ciljnog broja. Ako je 3 faktor zbroja znamenki, onda je 3 faktor i ciljnog broja.
Na primjer, recimo da je naš ciljni broj 117 i moramo ga faktorizirati. Možemo otkriti je li 3 faktor zbrajanjem znamenki ciljanog broja (117):
1 + 1 + 7 = 9
blokirani brojevi
3 se može pomnožiti s 3 da bude jednako 9, tako da će 3 moći ravnomjerno ići u 117.
117/3 = 39
3 i 39 su faktori od 117.
4) Ciljani broj imat će faktor 4 samo ako je ciljni broj paran . Ako jest, možete shvatiti je li 4 faktor gledajući rezultat prethodnog para faktora. Ako je, prilikom dijeljenja ciljnog broja s 2, rezultat i dalje paran, ciljni broj će također biti djeljiv s 4. Ako nije, ciljni broj NEĆE imati faktor 4.
Na primjer:
18/2 = 9. 18 NIJE djeljivo s 4 jer je 9 neparan broj.
56/2 = 28. 56 JE djeljivo s 4 jer je 28 paran broj.
5) 5 će biti a faktor bilo kojeg i svih brojeva koji završavaju znamenkama 5 ili 0 . Ako meta završava s bilo kojim drugim brojem, neće imati faktor 5.
6) 6 će uvijek biti faktor ciljnog broja ako ciljni broj ima faktore I 2 i 3 . Ako nije, 6 neće biti faktor.
7) Nažalost, ne postoje prečaci za pronalaženje je li 7 faktor broja osim pamćenja višekratnika broja 7.
8) Ako je meta broj NEMA faktore 2 i 4, neće imati ni faktor 8 . Ako ima faktore 2 i 4, to je moć imaju faktor 8, ali morat ćete podijeliti da vidite (nažalost, nema zgodnog trika za to osim toga i pamćenja višekratnika broja 8).
9) Možete odrediti je li 9 faktor tako što ćete zbrajanje znamenki ciljanog broja . Ako je njihov zbroj višekratnik broja 9, ciljni broj ima 9 kao faktor.
Na primjer:
42 → 4 + 2 = 6. 6 NIJE djeljivo s 9, tako da 9 NIJE faktor 42.
72→ 7 + 2 = 9. 9 JE djeljivo s 9 (očito!), pa je 9 faktor 72.
10) Ako je cilj broj završava na 0 , tada će uvijek imati faktor 10. Ako ne, 10 neće biti faktor.
jedanaest) Ako je ciljni broj a dvoznamenkasti broj s ponavljanjem obje znamenke (22, 33, 66, 77…), tada će imati 11 kao faktor. Ako se radi o troznamenkastom broju ili većem, morat ćete jednostavno sami provjeriti je li djeljiv s 11.
12+) U ovom trenutku ste vjerojatno već pronašli svoje veće brojeve kao što su 12 i 13 i 14 pronalaženjem manjih faktora i stvaranjem parova faktora. Ako ne, morat ćete ih testirati ručno tako da ih podijelite na ciljni broj.
Učenje vaših tehnika brzog faktoringa omogućit će svim tim dosadnim dijelovima da dođu na svoje mjesto.
Savjeti za pamćenje 45 faktora
Ako je vaš cilj zapamtiti sve faktore od 45, tada uvijek možete koristiti gore navedene tehnike za pronalaženje parova faktora.
Kvadratni korijen od 45 je negdje između 6 i 7 (6^2 = 36 i 7^2 = 49). Zaokružite na 6, što će biti najveći mali broj koji trebate testirati.
Znate da će prvi par automatski biti 1 & 45. Također znate da 2, 4 i 6 neće biti faktori, jer je 45 neparan broj.
4 + 5 = 9, pa će 3 biti faktor (kao i 15, jer je 45/3 = 15).
I konačno, 45 završava s 5, tako da će 5 biti faktor (kao i 9, jer 45/5 = 9).
Ovo pokazuje to uvijek možeš shvatiti faktore od 45 iznimno brzo, čak i ako niste zapamtili točne brojeve na popisu.
Ili, ako biste radije zapamtili svih 45 čimbenika posebno, mogli biste to zapamtiti, za faktor 45, sve što trebate su najmanja tri neparna broja (1, 3, 5) . Sada ih samo uparite s njihovim odgovarajućim višekratnicima da biste dobili 45 (45, 15, 9).
Zaključak: zašto je faktoring važan
Rastavljanje na faktore predstavlja temelj viših oblika matematičke misli, pa će vam učenje rastavljanja na faktore dobro poslužiti u vašim sadašnjim i budućim matematičkim nastojanjima.
Bilo da učite prvi put ili ste samo odvojili vrijeme da osvježite svoje znanje o faktorima, poduzimanje koraka za razumijevanje ovih procesa (i poznavanje trikova za to kako najučinkovitije doći do faktora!) pomoći će vam da stignete tamo gdje želite biti u vašem matematičkom životu.
Sretan faktoring!