Ako učite trigometriju ili račun — ili se spremate — morat ćete se upoznati s jediničnim krugom. Jedinična kružnica je osnovni alat koji se koristi za rješavanje sinusa, kosinusa i tangensa kuta. Ali kako to funkcionira? A koje informacije morate znati da biste ga koristili?

U ovom članku objašnjavamo što je jedinična kružnica i zašto biste je trebali znati. Dajemo vam i tri savjeta koji će vam pomoći da zapamtite kako koristiti jedinični krug.

Istaknuta slika: Gustavb /Wikimedia

Jedinični krug: osnovni uvod

Jedinična kružnica je kružnica polumjera 1. To znači da će za bilo koju ravnu liniju povučenu od središnje točke kruga do bilo koje točke duž ruba kruga, duljina te linije uvijek biti jednaka 1. (To također znači da će promjer kruga biti jednak 2, jer promjer je jednak dvostrukoj duljini polumjera.)

Tipično, središnja točka jedinične kružnice je mjesto gdje se x-os i y-os sijeku ili na koordinatama (0, 0):

Jedinični krug, ili trigo krug kako je također poznat, korisno je znati jer omogućuje nam jednostavno izračunavanje kosinusa, sinusa i tangensa bilo kojeg kuta između 0° i 360° (ili 0 i 2π radijana).

Kao što možete vidjeti na gornjem dijagramu, crtanjem polumjera pod bilo kojim kutom (označenog sa ∝ na slici), stvorit ćete pravokutni trokut. Na ovom trokutu kosinus je vodoravna crta, a sinus okomita crta. Drugim riječima, kosinus =x-koordinata i sinus = y-koordinata. (Najduža linija trokuta ili hipotenuza je polumjer i stoga je jednaka 1.)

Zašto je sve ovo važno? Zapamtite da možete riješiti duljine stranica trokuta pomoću Pitagorin teorem, ili $a^2+b^2=c^2$ (u kojem a i b su duljine stranica trokuta, i c je duljina hipotenuze).

Znamo da je kosinus kuta jednak duljini vodoravne crte, sinus je jednak duljini okomite crte, a hipotenuza jednaka 1. Prema tome, možemo reći da formula za bilo koji pravokutni trokut u jediničnom krugu je sljedeća:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Budući da je ^2=1$, ovu jednadžbu možemo pojednostaviti ovako:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Budite toga svjesni ove vrijednosti mogu biti negativne ovisno o formiranom kutu iu kojem kvadrantu x- i y-koordinate padaju (ovo ću detaljnije objasniti kasnije).

Ovdje je pregled svih velikih kutova u stupnjevima i radijanima na jediničnoj kružnici:

Jedinična kružnica — stupnjevi

Jedinična kružnica — radijani

Ali što ako nema formiranog trokuta? Pogledajmo što se događa kada je kut 0°, stvarajući vodoravnu ravnu liniju duž x-osi:

Na ovoj liniji x-koordinata je jednaka 1, a y-koordinata je jednaka 0. Znamo da kosinus je jednak x-koordinati, a sinus je jednak y-koordinati, tako da možemo napisati ovo:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Što ako kut je 90° i čini savršeno okomitu liniju duž y-osi?

Ovdje možemo vidjeti da je x-koordinata jednaka 0, a y-koordinata jednaka 1. To nam daje sljedeće vrijednosti za sinus i kosinus:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Ovaj slogan svakako vrijedi ako niste ljubitelj matematike.

Zašto biste trebali znati krug jedinica

Kao što je gore navedeno, jedinični krug je od pomoći jer omogućuje nam jednostavno rješavanje sinusa, kosinusa ili tangensa bilo kojeg stupnja ili radijana. Osobito je korisno znati dijagram jediničnog kruga ako trebate riješiti određene trigometrijske vrijednosti za domaću zadaću iz matematike ili ako se pripremate učiti račun.

Ali kako vam točno može pomoći poznavanje jedinične kružnice? Recimo da ste dobili sljedeći problem na testu iz matematike – i jeste ne dopušteno koristiti kalkulator za rješavanje:

$$sin30°$$

koliko gradova ima u Sjedinjenim Američkim Državama

Odakle početi? Pogledajmo ponovo dijagram jediničnog kruga - ovaj put sa svim velikim kutovima (u stupnjevima i radijanima) i njihovim odgovarajućim koordinatama:

Jim.belk /Wikimedia

Nemojte se opteretiti! Zapamtite, sve što rješavate je $sin30°$. Gledajući ovaj grafikon, to možemo vidjeti y-koordinata je jednaka /2$ na 30°. A budući da je y-koordinata jednaka sinusu, naš odgovor je sljedeći:

$$sin30°=1/2$$

Ali što ako dobijete problem koji koristi radijane umjesto stupnjeva? Postupak rješavanja i dalje je isti. Recimo, na primjer, da dobijete problem koji izgleda ovako:

$$cos{{3π}/4}$$

Opet, koristeći gornji grafikon, možemo vidjeti da je x-koordinata (ili kosinus) za ${3π}/4$ (što je jednako 135°) $-{√2}/2$. Evo kako bi tada izgledao naš odgovor na ovaj problem:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Sve je ovo prilično jednostavno ako imate gornju tablicu jediničnog kruga koju možete koristiti kao referencu. Ali većinu (ako ne i cijelo) vrijeme to neće biti slučaj i od vas se očekuje da odgovorite na ovakva matematička pitanja koristeći samo svoj mozak.

Dakle, kako možete zapamtiti jedinični krug? Pročitajte naše najbolje savjete!

Kako zapamtiti jedinični krug: 3 ključna savjeta

U ovom odjeljku dajemo vam naše najbolje savjete za pamćenje trigo kruga tako da ga možete s lakoćom koristiti za bilo koji matematički problem koji ga zahtijeva.

Ne bih preporučio vježbanje jediničnog kruga s samoljepivim papirićima, ali, hej, to je početak.

#1: Zapamtite zajedničke kutove i koordinate

Kako biste učinkovito koristili jedinični krug, morat ćete zapamtiti najčešće kutove (u stupnjevima i radijanima) kao i njihove odgovarajuće x- i y-koordinate.

Gornji dijagram je koristan dijagram jediničnog kruga koji možete pogledati jer uključuje sve glavne kutove u stupnjevima i radijanima, uz njihove odgovarajuće koordinatne točke duž x- i y-osi.

Evo grafikona s navedenim istim informacijama u obliku tablice:

Sada, iako ste više nego dobrodošli da pokušate zapamtiti sve te koordinate i kutove, ovo je puno stvari koje treba zapamtiti.

Srećom, postoji trik koji vam može pomoći da zapamtite najvažnije dijelove jediničnog kruga.

Pogledajte gornje koordinate i primijetit ćete jasan uzorak: sve točke (isključujući one na 0°, 90°, 270° i 360°) mijenjati samo tri vrijednosti (bilo pozitivne ili negativne):

• 1/2 dolara
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Svaka vrijednost odgovara kratka, srednja ili duga linija za kosinus i sinus:

Evo što ove duljine znače:

Kratka vodoravna ili okomita linija= 1/2 dolara Srednja vodoravna ili okomita linija= ${√2}/2$ Duga vodoravna ili okomita linija= ${√3}/2$

Na primjer, ako pokušavate riješiti $cos{π/3}$, trebali biste odmah znati da ovaj kut (koji je jednak 60°) označava kratka vodoravna crta na jediničnoj kružnici. Stoga, njegova odgovarajuća x-koordinata mora biti jednaka /2$ (pozitivna vrijednost, jer $π/3$ stvara točku u prvom kvadrantu koordinatnog sustava).

Na kraju, iako je korisno zapamtiti sve kutove u gornjoj tablici, imajte na umu to daleko najvažniji kutovi koje treba zapamtiti su sljedeći:

java je prazna

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

Tretirajte svoje negativne i pozitivne strane kao što biste to učinili s kabelima koji vas potencijalno mogu ubiti ako se neispravno spoje.

#2: Naučite što je negativno, a što pozitivno

Od ključne je važnosti moći razlikovati pozitivne i negativne x- i y-koordinate kako biste pronašli ispravnu vrijednost za problem okidača. Kao podsjetnik, U Hoće li koordinata na jediničnoj kružnici biti pozitivna ili negativna ovisi o tome pod koji kvadrant (I, II, III ili IV) točka spada:

Evo dijagrama koji pokazuje hoće li koordinata biti pozitivna ili negativna na temelju kvadranta u kojem se nalazi određeni kut (u stupnjevima ili radijanima):

Na primjer, recimo da ste dobili sljedeći problem na testu iz matematike:

$$cos210°$$

Prije nego što ga uopće pokušate riješiti, trebali biste biti u stanju prepoznati da će odgovor biti negativan broj budući da kut od 210° pada u kvadrant III (gdje su x-koordinate stalno negativan).

Sada, pomoću trika koji smo naučili u savjetu 1, možete shvatiti da kut od 210° stvara duga horizontalna linija. Stoga je naš odgovor sljedeći:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Znati riješiti tangentu

Na kraju, bitno je znati kako upotrijebiti sve ove informacije o trigometarskom krugu te sinusu i kosinusu kako biste mogli riješiti tangens kuta.

U trig, da biste pronašli tangens kuta θ (u stupnjevima ili radijanima), jednostavno podijelimo sinus s kosinusom:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Na primjer, recimo da pokušavate odgovoriti na ovaj problem:

$$ an300°$$

Prvi korak je postaviti jednadžbu u smislu sinusa i kosinusa:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Sada, da bismo riješili tangens, moramo pronaći sinus i kosinus od 300°. Trebali biste moći brzo prepoznati da kut od 300° pada u četvrti kvadrant, što znači da kosinus ili x-koordinata će biti pozitivan, a sinus ili y-koordinata će biti negativan.

Također biste trebali odmah znati da kut od 300° stvara kratka vodoravna crta i duga okomita crta. Stoga će kosinus (vodoravna linija) biti jednak /2$, a sinus (okomita linija) će biti jednak $-{√3}/2$ (negativna y-vrijednost, budući da je ova točka u kvadrantu IV) .

Sada, da biste pronašli tangentu, sve što trebate učiniti je priključiti se i riješiti:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

Vrijeme je da uvježbate svoje matematičke vještine!

Komplet pitanja za vježbu kruga jedinice

Sada kada znate kako izgleda jedinični krug i kako ga koristiti, provjerimo što ste naučili pomoću nekoliko zadataka za vježbu.

bharti jha

Pitanja

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Odgovori

1. ${√2}/2$
2. $-1/2 $
3. 1/2 dolara
4. $-√3$

Objašnjenja odgovora

#1: $sin45°$

Uz ovaj problem, postoje dvije informacije koje biste trebali moći identificirati odmah:

Odgovor će biti pozitivan,budući da je kut 45° u kvadrantu I, a sinus kuta jednak je y-koordinati

• Kut od 45° stvara okomita linija srednje dužine (za njihov)

Budući da 45° označava pozitivnu liniju srednje dužine, točan odgovor je ${√2}/2$.

Ako niste sigurni kako to shvatiti, nacrtajte dijagram koji će vam pomoći da odredite hoće li duljina linije biti kratka, srednja ili duga.

#2: $cos240°$

Kao i problem #1 gore, postoje dvije informacije koje biste trebali moći brzo shvatiti s ovim problemom:

Odgovor će biti negativan,budući da je kut 240° u kvadrantu III, a kosinus kuta jednak je x-koordinati

• Kut od 240° stvara kratka vodoravna linija (za kosinus)

Budući da 240° označava negativnu, kratku liniju, točan odgovor je $-1/2 $.

#3: $cos{5π}/3$

Za razliku od gore navedenih problema, ovaj problem koristi radijani umjesto stupnjeva. Iako bi zbog toga problem mogao izgledati teže za riješiti, u stvarnosti se koriste isti osnovni koraci kao i druga dva problema.

Prvo, trebali biste prepoznati da je kut ${5π}/3$ u kvadrantu IV, tako da će x-koordinata ili kosinus biti pozitivan broj. To biste također trebali znati reći${5π}/3$stvara kratka vodoravna linija.

Ovo vam daje dovoljno informacija da to utvrdite the odgovor je 1/2 dolara.

#4: $ an{2π}/3$

Ovaj se problem bavi tangentom umjesto sinusom ili kosinusom, što znači da će zahtijevati malo više matematike s naše strane. Za početak, opoziv osnovna formula za pronalaženje tangente:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Sada, uzmimo diplomu koju smo dobili—${2π}/3$— i uključite ga u ovu jednadžbu:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Sada biste trebali moći zasebno riješiti sinus i kosinus koristeći ono što ste zapamtili o jediničnoj kružnici. Budući da je kut ${2π}/3$ u kvadrantu II, x-koordinata (ili kosinus) bit će negativna, a y-koordinata (ili sinus) bit će pozitivna.

Zatim, trebali biste moći odrediti samo na temelju kuta vodoravne linije kratka linija, a okomita linija je dugačak red. To znači da je kosinus jednak $-1/2$, a sinus jednak ${√3}/2$.

Sada kada smo shvatili ove vrijednosti, sve što moramo učiniti je uključiti ih u našu početnu jednadžbu i riješiti tangens:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Što je sljedeće?

Ako uskoro polažete SAT ili ACT, morat ćete znati neke trigone kako biste bili dobri u matematičkom dijelu. Pogledajte naše stručne vodiče za pokretanje SAT i ACT kako biste mogli naučiti točno ono što trebate znati za ispitni dan!

Osim pamćenja jedinične kružnice, dobra je ideja naučiti kako ubaciti brojeve i kako umetnuti odgovore. Pročitajte naše vodiče kako biste saznali sve o ove dvije korisne strategije, koje možete koristiti na bilo kojem testu iz matematike—uključujući SAT i ACT!