Rekurzivna funkcija je funkcija čija se vrijednost u bilo kojoj točki može izračunati iz vrijednosti funkcije u nekim prethodnim točkama. Na primjer, pretpostavimo da je funkcija f(k) = f(k-2) + f(k-3) definirana preko nenegativnog cijelog broja. Ako imamo vrijednost funkcije pri k = 0 i k = 2, također možemo pronaći njezinu vrijednost pri bilo kojem drugom nenegativnom cijelom broju. Drugim riječima, možemo reći da se rekurzivna funkcija odnosi na funkciju koja koristi svoje prethodne točke za određivanje sljedećih termina i tako formira niz termina. U ovom ćemo članku učiti o rekurzivnim funkcijama uz određene primjere.
Što je rekurzija?
Rekurzija se odnosi na proces u kojem se rekurzivni proces ponavlja. Rekurzivna je vrsta funkcije jedne ili više varijabli, obično specificiranih određenim procesom koji proizvodi vrijednosti te funkcije kontinuiranom implementacijom određenog odnosa prema poznatim vrijednostima funkcije.
Ovdje ćemo razumjeti rekurziju uz pomoć primjera.
Pretpostavimo da ćete iz prizemlja ići stepenicama do prvog kata. Dakle, da biste to učinili, morate poduzeti jedan po jedan korak. Postoji samo put do druge stepenice, a to je strma prva stepenica. Pretpostavimo da želite prijeći na treći korak; prvo trebate napraviti drugi korak. Ovdje možete jasno vidjeti proces ponavljanja. Ovdje možete vidjeti da sa svakim sljedećim korakom dodajete prethodni korak kao ponovljeni niz s istom razlikom između svakog koraka. Ovo je stvarni koncept iza rekurzivne funkcije.
Korak 2: Korak 1 + najniži korak.
Korak 3: Korak 2 + Korak 1 + najniži korak.
Korak 4: Korak 3 + korak 2 + korak 1 + najniži korak, i tako dalje.
Skup prirodnih brojeva osnovni je primjer rekurzivnih funkcija koje počinju od jedan do beskonačnosti, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,…….beskonačno. Stoga skup prirodnih brojeva pokazuje rekurzivnu funkciju jer možete vidjeti zajedničku razliku između svakog člana kao 1; pokazuje svaki put kada se sljedeći izraz ponavlja prethodnim izrazom.
Što je rekurzivno definirana funkcija?
Rekurzivno definirane funkcije sastoje se od dva dijela. Prvi dio bavi se definicijom najmanjeg argumenta, a s druge strane, drugi dio se bavi definicijom n-tog člana. Najmanji argument je označen sa f (0) ili f (1), dok je n-ti argument označen sa f (n).
Slijedite navedeni primjer.
Pretpostavimo da je niz 4,6,8,10
Eksplicitna formula za gornji niz je f (n)= 2n + 2
Eksplicitna formula za gornji niz dana je pomoću
f (0) = 2
f(n) = f(n-1) + 2
c programi
Sada možemo dobiti članove niza primjenom rekurzivne formule kako slijedi f(2 ) f (1) + 2
f(2) = 6
f (0) = 2
f(1) = f(0) + 2
f (1) = 2 + 2 = 4
f(2 ) = f (1) + 2
f(2) = 4 + 2 = 6
f(3 ) = f (2) + 2
f(3) = 6 + 2 = 8
Uz pomoć gornje formule rekurzivne funkcije možemo odrediti sljedeći član.
Što funkciju čini rekurzivnom?
Da bi bilo koja funkcija bila rekurzivna, potreban joj je vlastiti izraz za izračunavanje sljedećeg člana u nizu. Na primjer, ako želite izračunati n-ti član zadanog niza, prvo trebate znati prethodni član i član prije prethodnog člana. Dakle, morate znati prethodni izraz da biste saznali je li niz rekurzivan ili nije rekurzivan. Stoga možemo zaključiti da se funkcija smatra rekurzivnom funkcijom ako funkcija treba prethodni izraz da odredi sljedeći izraz u nizu.
Formula rekurzivne funkcije
Ako a1, a2, a3, a4, a5, a6, ……..an,……je mnogo skupova ili niz, tada će rekurzivna formula morati izračunati sve uvjete koji su prethodno postojali da bi se izračunala vrijednost
an= an-1 +a1
Gornja formula također se može definirati kao rekurzivna formula aritmetičkog niza. U gore navedenom nizu možete jasno vidjeti da je to aritmetički niz koji se sastoji od prvog člana iza kojeg slijede ostali pojmovi i zajedničke razlike između svakog pojma. Zajednička razlika odnosi se na broj koji im dodajete ili oduzimate.
Rekurzivna funkcija također se može definirati kao geometrijski niz, gdje skupovi brojeva ili niz imaju zajednički faktor ili zajednički omjer među sobom. Formula za geometrijski niz dana je kao
an= an-1 *r
Obično se rekurzivna funkcija definira u dva dijela. Prvi je iskaz prvog člana zajedno s formulom, a drugi je iskaz prvog člana zajedno s pravilom koje se odnosi na uzastopne članove.
Kako napisati rekurzivnu formulu za aritmetički niz
Da biste napisali rekurzivnu formulu za formulu aritmetičkog niza, slijedite dane korake
Korak 1:
U prvom koraku morate provjeriti je li zadani niz aritmetički ili ne (za to morate zbrajati ili oduzimati dva uzastopna člana). Ako dobijete isti izlaz, tada se niz uzima kao aritmetički niz.
Korak 2:
Sada trebate pronaći zajedničku razliku za navedeni niz.
Korak 3:
Formulirajte rekurzivnu formulu korištenjem prvog člana, a zatim kreirajte formulu korištenjem prethodnog člana i zajedničke razlike; tako ćete dobiti zadani rezultat
an= an-1 +d
sada, razumijemo danu formulu uz pomoć primjera
pretpostavimo da je 3,5,7,9,11 zadani niz
U gornjem primjeru možete lako pronaći da je to aritmetički niz jer se svaki član u nizu povećava za 2. Dakle, zajednička razlika između dva člana je 2. Znamo formulu rekurzivnog niza
an= an-1 +d
s obzirom,
d = 2
a1= 3
tako,
a2= a(2-1)+ 2 = a1+2 = 3+2 = 5
a3= a(3-1)+ 2 = a2+2 = 5+2 = 7
a4= a(4-1)+ 2 = a3+2 = 7+2 = 9
a5= a(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11, i proces se nastavlja.
što je dupla java
Kako napisati rekurzivnu formulu za geometrijski niz?
Da biste napisali rekurzivnu formulu za formulu geometrijskog niza, slijedite navedene korake:
Korak 1
U prvom koraku potrebno je provjeriti je li zadani niz geometrijski ili ne (za to je potrebno svaki član pomnožiti ili podijeliti brojem). Ako dobijete isti izlaz od jednog člana do sljedećeg izraza, niz se uzima kao geometrijski niz.
Korak 2
Sada trebate pronaći zajednički omjer za dati niz.
3. korak
Formulirajte rekurzivnu formulu korištenjem prvog člana, a zatim kreirajte formulu korištenjem prethodnog člana i zajedničkog omjera; tako ćete dobiti zadani rezultat
an= r*an-1
Sada razumijemo danu formulu uz pomoć primjera
pretpostavimo da je 2,8,32, 128,.dani niz
U gornjem primjeru možete lako pronaći da je to geometrijski niz jer se sljedeći član u nizu dobiva množenjem 4 s prethodnim članom. Dakle, zajednički omjer između dva člana je 4. Znamo formulu rekurzivnog niza
an= r*an-1
an= 4
an-1= ?
s obzirom,
r = 4
a1= 2
tako,
a2= a(2-1)* 4 = a1+ * 4 = 2* 4 = 8
a3= a(3-1)* 4 = a2* 4 = 8 * 4 = 32
a4= a(4-1)* 4 = a3* 4 = 32 * 4 = 128, i proces se nastavlja.
Primjer rekurzivne funkcije
Primjer 1:
Odredite rekurzivnu formulu za niz 4,8,16,32,64, 128,….?
Riješenje:
Zadani niz 4,8,16,32,64,128,…..
Zadani niz je geometrijski jer ako pomnožimo prethodni član, dobivamo uzastopne članove.
Da bismo odredili rekurzivnu formulu za zadani niz, potrebno ga je napisati u tabličnom obliku
| Brojevi termina | Pojam sekvence | Zapis funkcije | Subskriptni zapis |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | f(1) | a1 |
| 2 | 8 | f(2) | a2 |
| 3 | 16 | f(3) | a3 |
| 4 | 32 | f(4) | a4 |
| 5 | 64 | f(5) | a5 |
| 6 | 128 | f(6) | a6 |
| n | . | f(n) | an |
Stoga je rekurzivna formula u pojmu funkcije dana izrazom
f(1) = 4, f(n) . f(n- 1)
U indeksnoj notaciji, rekurzivna formula je dana sa
a1= 4, an= 2. an-1