Izjava o implikaciji može se prikazati u obliku 'ako...onda'. Simbol ⇒ koristi se za prikaz implikacije. Pretpostavimo da postoje dvije tvrdnje, P i Q. U ovom slučaju, izjava 'ako je P onda Q' također se može napisati kao P ⇒ Q ili P → Q, a čitat će se kao 'P implicira Q'. U ovoj implikaciji, izjava P je hipoteza, koja je također poznata kao premisa i antecedent, a izjava Q je zaključak, koji je također poznat kao konzekvent.
Implikacija također igra važnu ulogu u logičkom argumentu. Ako se zna da je implikacija izjava istinita, onda kad god je ispunjena premisa, zaključak također mora biti istinit. Zbog toga je implikacija također poznata kao uvjetna izjava.
Neki primjeri implikacija opisani su kako slijedi:
kada je izašao win 7
- 'Ako je vrijeme u GOA sunčano, onda ćemo ići na plažu'.
- 'Ako klub ima sustav popusta, onda ćemo ići u taj klub'.
- 'Ako je sunčano dok idemo na plažu, onda ćemo biti preplanuli'.
Logička implikacija može se izraziti na različite načine, koji su opisani na sljedeći način:
- Ako je p tada q
- Ako je p, q
- q kada je str
- Q samo ako je P
- q osim ako ~p
- q kad god str
- p je dovoljan uvjet za q
- q slijedi str
- p implicira q
- Nužan uvjet za p je q
- q ako str
- q je neophodan za str
- p je nužan uvjet za q
Sada ćemo opisati primjere svih gore opisanih implikacija uz pomoć premise P i zaključka Q. Za ovo ćemo pretpostaviti da je P = Sunčano je i Q = ići ću na plažu.
P ⇒ Q
- AKO je sunčano ONDA ću ići na plažu
- AKO bude sunčano, ići ću na plažu
- Ići ću na plažu KAD bude sunčano
- Na plažu ću ići SAMO AKO je sunčano
- Ići ću na plažu OSIM AKO nije sunčano
- Ići ću na plažu KAD god je sunčano
- Sunčano je DOVOLJAN UVJET ZA Ići ću na plažu
- Ići ću na plažu PRATITI je sunčano
- Sunčano je IMPLICIRA Ići ću na plažu
- POTREBAN UVJET DA je sunčano ići ću na plažu
- Ići ću na plažu AKO bude sunčano
- Ići ću na plažu POTREBNO JE JER je sunčano
- Sunčano je NEOPHODAN UVJET ZA Ići ću na plažu
Kada postoji uvjetna izjava 'ako je p onda q', tada će ova izjava P ⇒ Q biti netočna kada je premisa p istinita, a zaključak q netočan. U svim drugim slučajevima, to znači da je p lažno ili Q istinito, iskaz P ⇒ Q će biti istinit. Ovu izjavu možemo predstaviti uz pomoć tablice istinitosti u kojoj će laž biti predstavljena s F, a istinita s T. Tablica istinitosti izjave 'ako je P, onda Q' opisana je na sljedeći način:
| P | Q | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Nije nužno da su premise i zaključak međusobno povezani. Na temelju formulacije P i Q, tumačenje tablice istine ovisi.
Na primjer:
- Ako je Jack napravljen od plastike, onda je Ocean zelen.
- Izjava: Jack je izrađen od plastike
- Izjava: Ocean je zelen
Gornje dvije izjave nemaju nikakvog smisla jer je Jack čovjek i nikada ne može biti napravljen od plastike, a druga izjava Ocean je zelen se nikada neće dogoditi jer je ocean uvijek plav i boja Oceana se ne može promijeniti. Kao što vidimo, obje izjave nisu međusobno povezane. S druge strane, tablica istinitosti za iskaz P ⇒ Q vrijedi. Dakle, nije pitanje je li tablica istine točna ili ne, već je pitanje mašte i interpretacije.
Dakle, u P ⇒ Q, ne trebamo nikakvu vezu između premise i posljedice. Na temelju prave vrijednosti P i Q ovisi samo njihovo značenje.
Ove će izjave također biti netočne čak i ako obje izjave uzmemo u obzir za naš svijet
False ⇒ False
Dakle, kada pogledamo gornju tablicu istinitosti, vidimo da kada je P lažno i Q lažno, tada je P ⇒ Q istinito.
Dakle, ako je Jack napravljen od plastike, onda će Ocean biti zelen.
Međutim, premisa p i zaključak q bit će povezani i obje izjave imaju smisla.
Dvosmislenost
U impliciranom operatoru može postojati dvosmislenost. Dakle, kada koristimo operator impliciranja (⇒), u ovom trenutku, trebali bismo koristiti zagrade.
Na primjer: U ovom primjeru imamo dvosmislenu izjavu P ⇒ Q ⇒ R. Sada imamo dvije dvosmislene izjave ((P ⇒ Q) ⇒ R) ili (P ⇒ (Q ⇒ R)), i moramo pokazati jesu li ove izjave jesu slični ili ne.
Riješenje: To ćemo dokazati uz pomoć tablice istinitosti, koja je opisana na sljedeći način:
| P | Q | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
U gornjoj tablici istinitosti možemo vidjeti da tablica istinitosti za P ⇒ (Q ⇒ R) i (P ⇒ Q) ⇒ R nije slična. Stoga će oboje generirati različite outpute ili rezultate.
Više o implikaciji
Još neki primjeri implikacija opisani su kako slijedi:
- Ako je sunčano, onda ću ići u školu.
- Ako dobijem dobar posao, onda ću zaraditi.
- Ako dobijem dobre ocjene, onda će moji roditelji biti sretni.
U svim gornjim primjerima smo zbunjeni jer ne znamo kada će se implikacija smatrati istinitom, a kada lažnom. Kako bismo riješili ovaj problem i razumjeli koncept implikacije, poslužit ćemo se hipotetskim primjerom. U ovom primjeru ćemo pretpostaviti da će Marry igrati badminton sa svojim dečkom Jackom, a njegov dečko Jack želi malo motivirati Marry pa ju namami izjavom:
'If you win then I will buy a ring for you'
Ovom izjavom Jack želi reći da će, ako brak pobijedi, on očito kupiti prsten. Kroz ovu izjavu, Jack se obvezuje samo kada Marry pobijedi. Ni u kojem slučaju nije počinio ništa kada je Mary izgubila. Dakle, na kraju utakmice mogu postojati samo četiri mogućnosti, koje su opisane na sljedeći način:
- Udaja pobjeđuje - kupi prsten.
- Udaja pobjeđuje - ne kupujte prsten.
- Oženi se gubi - kupi prsten.
- Udaja gubi - ne kupuj prsten.
Međutim, Jack nije dao nikakvu izjavu u vezi s pravilom (B). Također nije spomenuo pravila broj (C) i (D) u svojoj izjavi, pa ako Marry izgubi, onda je potpuno na Jacku hoće li joj kupiti prsten ili ne. Zapravo, izjave (A), (C) i (D) mogu se dogoditi kao ishod izjave koju Jack kaže Marry, ali (B) neće biti ishod. Ako se dogodi ishod (B), Jack će biti uhvaćen u laži. U sva ostala tri slučaja, tj. (A), (C) i (D), on će govoriti istinu.
Sada ćemo koristiti jednostavniju izjavu kako bismo mogli simbolično definirati Jackovu izjavu ovako:
P: you win Q: I will buy a ring for you
U ovoj implikaciji koristimo logički simbol ⇒, koji se može čitati kao 'implicira'. Izjavu Jack's Compound formirat ćemo uz pomoć postavljanja ove strelice od P do Q ovako:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
U zaključku, primijetili smo da će implikacija biti lažna samo kada je P istinito, a q lažno. Prema ovoj izjavi, Marry pobjeđuje u igri, ali nažalost Jack ne kupuje prsten. U svim drugim slučajevima/ishodima izjava će biti istinita. Sukladno tome, tablica istine za implikaciju opisana je kako slijedi:
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Popis odgovarajućih logičkih jednadžbi za implikaciju opisan je kako slijedi:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Primjeri implikacija:
Postoje različiti primjeri implikacija, a neki od njih opisani su kako slijedi:
Primjer 1: Pretpostavimo da postoje četiri izjave, P, Q, R i S gdje
P: Jack je u školi
P: Jack predaje
R: Jack spava
S: Jack je bolestan
Sada ćemo opisati neke simbolične izjave koje su uključene u ove jednostavne izjave.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Ovdje moramo pokazati reprezentaciju tumačenja ovih simboličkih iskaza u riječima.
Riješenje:
| P → R | Ako je Jack u školi, onda Jack predaje. |
| S → ~P | Ako je Jack bolestan, onda nije u školi. |
| ~Q → (S ∧ R) | Ako Jack ne predaje, onda je bolestan i spava. |
| (P ∨ R) → ~Q | Ako je Jack u školi ili spava, onda ne predaje. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Ako Jack ne spava i nije bolestan, onda predaje ili nije u školi. |
Primjer 2: U ovom primjeru imamo implikaciju P → Q. Ovdje također imamo još tri složene izjave koje su prirodno povezane s ovom implikacijom koja je kontrapozitivna, inverzna i inverzna od implikacije. Odnos između sve ove četiri tvrdnje opisan je uz pomoć tablice koja je opisana na sljedeći način:
| implikacija | P → Q |
| Razgovarati | Q → P |
| Inverzan | ~P → ~Q |
| Kontrapozitivno | ~Q → ~P |
Sada ćemo razmotriti primjer implikacije koji ima izjavu: 'Ako dobro učiš, dobivaš dobre ocjene'. Ova izjava je u obliku P → Q, gdje je
P: dobro učiš
P: Dobivate dobre ocjene
Sada ćemo koristiti izjave P i Q i prikazati četiri pridružene izjave ovako:
Implikacija: Ako dobro učiš, dobivaš dobre ocjene.
Razgovarati: Ako dobiješ dobre ocjene, dobro učiš.
Inverzan: Ako ne učite dobro, nećete dobiti dobre ocjene.
Kontrapozitivno: Ako nemate dobre ocjene, ne učite dobro.
Vrijednosti istinitosti svih gore navedenih pridruženih izjava opisane su uz pomoć tablice istinitosti, koja je opisana kako slijedi
| P | Q | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
U gornjoj tablici možemo vidjeti da implikacija (P → Q) i njezin kontrapozitiv (~Q → ~P) imaju istu vrijednost u svojim stupcima. To znači da su oboje jednaki. Dakle, možemo reći da:
P → Q = ~Q → ~P
Slično, možemo vidjeti da i inverz i inverz imaju slične vrijednosti u svojim stupcima. Ali to neće činiti nikakvu razliku jer je inverz kontrapozitiv obrnutog. Slično tome, izvorna implikacija može proizaći iz kontra-pozitiva kontra-pozitiva. (To znači da ako negiramo P i Q i zatim promijenimo smjer strelice, a nakon toga ćemo ponovno ponoviti proces, to znači negirati ~P i ~Q, i ponovno promijeniti smjer strelice, u ovom slučaju, dobit ćemo tamo gdje smo počeli).