Preduvjeti: BIT S obzirom na 'n' odsječaka, svaki od njih je vodoravan ili okomit, pronađite najveći broj trokuta (uključujući trokute s nultom površinom) koji se mogu oblikovati spajanjem točaka sjecišta odsječaka. Dva vodoravna segmenta linije se ne preklapaju niti dva okomita segmenta linije. Linija je predstavljena pomoću dvije točke (četiri cijela broja od kojih su prva dva koordinate x i y za prvu točku, a druga dva su koordinate x i y za drugu točku) Primjeri:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
Ideja se temelji na Algoritam sweep linije . Izrada rješenja u koracima:
- Pohranite obje točke svih segmenata linije s odgovarajućim događajem (opisanim u nastavku) u vektor i sortirajte sve točke u neopadajućem redoslijedu njihovih x koordinata.
- Zamislimo sada okomitu crtu kojom prelazimo preko svih ovih točaka i opisujemo 3 događaja na temelju toga na kojoj se točki trenutno nalazimo:
- a okomita linija
- Zovemo regiju 'aktivan' ili horizontalne linije 'aktivan' koji su imali prvi događaj, ali ne i drugi. Imat ćemo BIT (Binarno indeksirano stablo) za pohranu 'y' koordinata svih aktivnih linija.
- Nakon što linija postane neaktivna, uklanjamo njezino 'y' iz BIT-a.
- Kada se dogodi događaj trećeg tipa, to jest kada smo na okomitoj crti, postavljamo upit stablu u rasponu njegovih 'y' koordinata i dodajemo rezultat broju točaka sjecišta do sada.
- Na kraju ćemo imati recimo broj točaka sjecišta m tada će broj trokuta (uključujući nultu površinu) biti mC3 .
u - krajnja lijeva točka horizontalnog segmentavan - krajnja desna točka horizontalnog segmentaBilješka: Moramo pažljivo razvrstati točke pogledati cmp() funkciju u provedbi radi pojašnjenja.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Izlaz:
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Pomoćni prostor: O(maxy) gdje je maxy = 1000005