PRONAĐITE JEDINSTVENE PAROVE TAKO DA JE SVAKI ELEMENT MANJI ILI JEDNAK N

Za cijeli broj N pronađite i pokažite broj parova koji zadovoljava sljedeće uvjete:

Kvadrat udaljenosti između ta dva broja jednak je LCM od ta dva broja.
The GCD od ta dva broja jednak je umnošku dvaju uzastopnih cijelih brojeva.
Oba broja u paru trebaju biti manja ili jednaka N.

BILJEŠKA: Trebaju se prikazati samo oni parovi koji istovremeno slijede oba gornja uvjeta i ti brojevi moraju biti manji ili jednaki N.

Primjeri:

  Input:   10   Output:   No. of pairs = 1 Pair no. 1 --> (2 4)   Input:   500   Output:   No. of pairs = 7 Pair no. 1 --> (2 4) Pair no. 2 --> (12 18) Pair no. 3 --> (36 48) Pair no. 4 --> (80 100) Pair no. 5 --> (150 180) Pair no. 6 --> (252 294) Pair no. 7 --> (392 448)

Obrazloženje:
Dolje prikazane tablice dat će jasan prikaz onoga što se može pronaći:

Pronađite jedinstvene parove tako da je svaki element manji ili jednak N' title=

stvaranje izvršne skripte ljuske

Gornje tablice prikazuju GCD formiran umnoškom dvaju uzastopnih brojeva i odgovarajućih višekratnika u kojima postoji UNIQUE PAR koji odgovara svakoj vrijednosti. Zeleni unosi u svakom retku čine jedinstveni par za odgovarajući GCD.
Bilješka: U gornjim tablicama

Za 1. unos GCD=2 1. i 2. višekratnik od 2 čine jedinstveni par (2 4)
Slično za 2. unos GCD=6 2. i 3. višekratnik od 6 čine jedinstveni par (12 18)
Slično ako krenemo dalje za Zth unos, tj. za GCD = Z*(Z+1) jasno je da će se jedinstveni par sastojati od Zth i (Z+1)-tog višekratnika GCD = Z*(Z+1). Sada je Z-ti višekratnik GCD-a Z * (Z*(Z+1)), a (Z+1)-ti višekratnik GCD-a bit će (Z + 1) * (Z*(Z+1)).
A kako je granica N, drugi broj u jedinstvenom paru mora biti manji ili jednak N. Dakle (Z + 1) * (Z*(Z+1))<= N. Simplifying it further the desired relation is derived Z³+ (2*Z²) + Z<=N

Ovo čini obrazac i iz matematičkog izračuna se izvodi da će za dani N ukupan broj takvih jedinstvenih parova (recimo Z) slijediti matematičku relaciju prikazanu u nastavku:

Z³ + (2*Z²) + Z <= N

Ispod je potrebna implementacija:

// C program for finding the required pairs #include  #include  // Finding the number of unique pairs int No_Of_Pairs(int N) {  int i = 1;  // Using the derived formula  while ((i * i * i) + (2 * i * i) + i <= N)  i++;  return (i - 1); } // Printing the unique pairs void print_pairs(int pairs) {  int i = 1 mul;  for (i = 1; i <= pairs; i++) {  mul = i * (i + 1);  printf('Pair no. %d --> (%d %d)n'  i (mul * i) mul * (i + 1));  } } // Driver program to test above functions int main() {  int N = 500 pairs mul i = 1;  pairs = No_Of_Pairs(N);  printf('No. of pairs = %d n' pairs);  print_pairs(pairs);  return 0; }

Java

// Java program for finding // the required pairs import java.io.*; class GFG  {    // Finding the number  // of unique pairs  static int No_Of_Pairs(int N)  {  int i = 1;    // Using the derived formula  while ((i * i * i) +   (2 * i * i) + i <= N)  i++;    return (i - 1);  }    // Printing the unique pairs  static void print_pairs(int pairs)  {  int i = 1 mul;  for (i = 1; i <= pairs; i++)  {  mul = i * (i + 1);  System.out.println('Pair no. ' + i + ' --> (' +   (mul * i) + ' ' +   mul * (i + 1) + ')');   }  }    // Driver code  public static void main (String[] args)  {  int N = 500 pairs mul i = 1;  pairs = No_Of_Pairs(N);    System.out.println('No. of pairs = ' + pairs);  print_pairs(pairs);  } } // This code is contributed by Mahadev.

Python3

# Python3 program for finding the required pairs # Finding the number of unique pairs def No_Of_Pairs(N): i = 1; # Using the derived formula while ((i * i * i) + (2 * i * i) + i <= N): i += 1; return (i - 1); # Printing the unique pairs def print_pairs(pairs): i = 1; mul = 0; for i in range(1 pairs + 1): mul = i * (i + 1); print('Pair no.'  i ' --> (' (mul * i) ' ' mul * (i + 1) ')'); # Driver Code N = 500; i = 1; pairs = No_Of_Pairs(N); print('No. of pairs = ' pairs); print_pairs(pairs); # This code is contributed # by mits

// C# program for finding // the required pairs using System; class GFG  {   // Finding the number // of unique pairs static int No_Of_Pairs(int N) {  int i = 1;  // Using the derived formula  while ((i * i * i) +   (2 * i * i) + i <= N)  i++;  return (i - 1); } // Printing the unique pairs static void print_pairs(int pairs) {  int i = 1 mul;  for (i = 1; i <= pairs; i++)  {  mul = i * (i + 1);  Console.WriteLine('Pair no. ' + i + ' --> (' +   (mul * i) + ' ' +   mul * (i + 1) + ')');   } } // Driver code static void Main() {  int N = 500 pairs;  pairs = No_Of_Pairs(N);  Console.WriteLine('No. of pairs = ' +   pairs);  print_pairs(pairs); } } // This code is contributed by mits

PHP

 // PHP program for finding  // the required pairs // Finding the number  // of unique pairs function No_Of_Pairs($N) { $i = 1; // Using the  // derived formula while (($i * $i * $i) + (2 * $i * $i) + $i <= $N) $i++; return ($i - 1); } // Printing the unique pairs function print_pairs($pairs) { $i = 1; $mul; for ($i = 1; $i <= $pairs; $i++) { $mul = $i * ($i + 1); echo 'Pair no.'  $i ' --> ('  ($mul * $i) ' ' $mul * ($i + 1)') n'; } } // Driver Code $N = 500; $pairs; $mul; $i = 1; $pairs = No_Of_Pairs($N); echo 'No. of pairs = ' $pairs  ' n'; print_pairs($pairs); // This code is contributed // by Akanksha Rai(Abby_akku) ?>

JavaScript

<script> // Javascript program for finding the  // required pairs // Finding the number of unique pairs function No_Of_Pairs(N) {  let i = 1;  // Using the derived formula  while ((i * i * i) +  (2 * i * i) + i <= N)  i++;  return (i - 1); } // Printing the unique pairs function print_pairs(pairs) {  let i = 1 mul;  for(i = 1; i <= pairs; i++)   {  mul = i * (i + 1);  document.write('Pair no. ' + i +   ' --> (' + (mul * i) +  ' ' + mul * (i + 1) +   ')  
');  } } // Driver code let N = 500 pairs mul i = 1; pairs = No_Of_Pairs(N); document.write('No. of pairs = ' +   pairs + '  
'); print_pairs(pairs); // This code is contributed by mohit kumar 29 </script>

C++14

// C++ code for the above approach: #include    using namespace std; // Finding the number of unique pairs int No_Of_Pairs(int N) {  int i = 1;  // Using the derived formula  while ((i * i * i) + (2 * i * i) + i <= N)  i++;  return (i - 1); } // Printing the unique pairs void print_pairs(int pairs) {  int i = 1 mul;  for (i = 1; i <= pairs; i++) {  mul = i * (i + 1);  cout << 'Pair no. '<< i <<' --> (' << (mul * i) << ' '<< mul * (i + 1) << ')' <<endl;;  } } // Driver Code int main() {  int N = 500 pairs mul i = 1;  pairs = No_Of_Pairs(N);  cout << 'No. of pairs = ' << pairs << endl;  print_pairs(pairs);  return 0; }

Izlaz:

No. of pairs = 7 Pair no. 1 --> (2 4) Pair no. 2 --> (12 18) Pair no. 3 --> (36 48) Pair no. 4 --> (80 100) Pair no. 5 --> (150 180) Pair no. 6 --> (252 294) Pair no. 7 --> (392 448)

Vremenska složenost : O(N^1/3)
Pomoćni prostor : O(1)