logo

De-Morganov teorem

Poznati matematičar DeMorgan izumio je dva najvažnija teoreme Booleove algebre. DeMorganovi teoremi koriste se za matematičku provjeru ekvivalentnosti NILI i negativnih I vrata te negativnih ILI i NAND vrata. Ovi teoremi igraju važnu ulogu u rješavanju raznih Booleovih algebarskih izraza. U donjoj tablici definirana je logička operacija za svaku kombinaciju ulazne varijable.

Ulazne varijable Izlazni uvjet
A B I NAND ILI NI
0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 1 0
1 1 1 0 1 0

Pravila De-Morganovog teorema proizlaze iz Booleovih izraza za OR, I i NE korištenjem dvije ulazne varijable x i y. Prvi Demorganov teorem kaže da ako izvedemo operaciju AND za dvije ulazne varijable i zatim izvršimo operaciju NE za rezultat, rezultat će biti isti kao operacija ILI komplementa te varijable. Drugi DeMorganov teorem kaže da ako izvedemo operaciju OR dviju ulaznih varijabli i zatim izvršimo NE operacije rezultata, rezultat će biti isti kao i operacija komplementa te varijable.

De-Morganov prvi teorem

Prema prvom teoremu, rezultat komplementa operacije I jednak je operaciji ILI komplementa te varijable. Dakle, to je ekvivalentno funkciji NAND i negativna-ILI funkcija koja dokazuje da je (A.B)' = A'+B' i to možemo pokazati pomoću sljedeće tablice.

Unosi Izlaz za svaki pojam
A B A.B (A.B)' A' B' A'A+B'
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0

De-Morganov teorem

De-Morganov drugi teorem

Prema drugom teoremu, rezultat komplementa operacije ILI jednak je operaciji I komplementa te varijable. Dakle, to je ekvivalent funkcije NOR i negativna I funkcija koja dokazuje da je (A+B)' = A'.B' i to možemo pokazati pomoću sljedeće tablice istinitosti.

Unosi Izlaz za svaki pojam
A B A+B (A+B)' A' B' A'.B'
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0

De-Morganov teorem

Uzmimo neke primjere u kojima uzimamo neke izraze i primjenjujemo DeMorganove teoreme.

Primjer 1: (A.B.C)'

(A.B.C)'=A'+B'+C'

Primjer 2: (A+B+C)'

(A+B+C)'=A'.B'.C

Primjer 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'

Za primjenu DeMorganovog teorema na ovaj izraz, moramo slijediti sljedeće izraze:

1) U potpunom izrazu, prvo, nalazimo one članove na koje možemo primijeniti DeMorganov teorem i tretirati svaki član kao jednu varijablu.

De-Morganov teorem
De-Morganov teorem

Tako,

De-Morganov teorem

2) Zatim primjenjujemo prvi DeMorganov teorem. Tako,

De-Morganov teorem

3) Zatim koristimo pravilo broj 9, tj. (A=(A')') za poništavanje duplih prečica.

De-Morganov teorem

4) Zatim primjenjujemo DeMorganov drugi teorem. Tako,

De-Morganov teorem

5) Ponovno primijenite pravilo broj 9 za poništavanje dvostruke trake

De-Morganov teorem

Sada, ovaj izraz nema termin na koji možemo primijeniti bilo koje pravilo ili teorem. Dakle, ovo je konačni izraz.

Primjer 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'

math.pow java
De-Morganov teorem