Poznati matematičar DeMorgan izumio je dva najvažnija teoreme Booleove algebre. DeMorganovi teoremi koriste se za matematičku provjeru ekvivalentnosti NILI i negativnih I vrata te negativnih ILI i NAND vrata. Ovi teoremi igraju važnu ulogu u rješavanju raznih Booleovih algebarskih izraza. U donjoj tablici definirana je logička operacija za svaku kombinaciju ulazne varijable.
| Ulazne varijable | Izlazni uvjet | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| A | B | I | NAND | ILI | NI |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Pravila De-Morganovog teorema proizlaze iz Booleovih izraza za OR, I i NE korištenjem dvije ulazne varijable x i y. Prvi Demorganov teorem kaže da ako izvedemo operaciju AND za dvije ulazne varijable i zatim izvršimo operaciju NE za rezultat, rezultat će biti isti kao operacija ILI komplementa te varijable. Drugi DeMorganov teorem kaže da ako izvedemo operaciju OR dviju ulaznih varijabli i zatim izvršimo NE operacije rezultata, rezultat će biti isti kao i operacija komplementa te varijable.
De-Morganov prvi teorem
Prema prvom teoremu, rezultat komplementa operacije I jednak je operaciji ILI komplementa te varijable. Dakle, to je ekvivalentno funkciji NAND i negativna-ILI funkcija koja dokazuje da je (A.B)' = A'+B' i to možemo pokazati pomoću sljedeće tablice.
| Unosi | Izlaz za svaki pojam | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A.B | (A.B)' | A' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
De-Morganov drugi teorem
Prema drugom teoremu, rezultat komplementa operacije ILI jednak je operaciji I komplementa te varijable. Dakle, to je ekvivalent funkcije NOR i negativna I funkcija koja dokazuje da je (A+B)' = A'.B' i to možemo pokazati pomoću sljedeće tablice istinitosti.
| Unosi | Izlaz za svaki pojam | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A+B | (A+B)' | A' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Uzmimo neke primjere u kojima uzimamo neke izraze i primjenjujemo DeMorganove teoreme.
Primjer 1: (A.B.C)'
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Primjer 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Primjer 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
Za primjenu DeMorganovog teorema na ovaj izraz, moramo slijediti sljedeće izraze:
1) U potpunom izrazu, prvo, nalazimo one članove na koje možemo primijeniti DeMorganov teorem i tretirati svaki član kao jednu varijablu.
Tako,
2) Zatim primjenjujemo prvi DeMorganov teorem. Tako,
3) Zatim koristimo pravilo broj 9, tj. (A=(A')') za poništavanje duplih prečica.
4) Zatim primjenjujemo DeMorganov drugi teorem. Tako,
5) Ponovno primijenite pravilo broj 9 za poništavanje dvostruke trake
Sada, ovaj izraz nema termin na koji možemo primijeniti bilo koje pravilo ili teorem. Dakle, ovo je konačni izraz.
Primjer 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
math.pow java
